Шпоры к экзамену / Лекции 2 / Курс лекций 6

ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru

Глава 6. Элементы теории вычетов и их приложение к вычислению интегралов

§1 Вычеты

1.Определение вычета в конечной изолированной особой точке

a изолированная особая точка. По определению существует кольцо K={0<|z-a|<R}, где f – аналитическая функция.

Определение. Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке a называется величина

в положительном направлении.

Определение корректно.

По теореме Лорана

Откуда , таким образом

Пусть a – полюс порядка n

f(z) = c_-n(z-a)^-n+…+c_-1(z-a)^-1+c₀+c₁(z-a)+…,c_-n0

тогда

(z-a)ⁿf(z)=c_-n+…+c_-1(z-a)^n-1+c₀(z-a)ⁿ…

. Таким образом,

(3)

Для полюса первого порядка

Пусть

,  - аналитические, (a)0,(a)=0,(a)0.

Отметим, что при сделанных предположениях g(a )= ( a ) . Действительно, по условию (z)=(z-a)g (z), где g (a)0. Тогда, (z)=(z-a)g (z)+g(z), откуда следует, что g(a )= ( a ). Поэтому

(3)

2.Вычет в и.о.т. .

z= и.о.т. функции f,  K={R<|z|<}, где f аналитична.

Определение . Вычетом функции f(z) в и.о.т.  называется величина

,

- окружность с центром в начале координат, радиуса  , проходимая по часовой стрелке.

Теорема Лорана , где

3.Теоремы о вычетах.

Основная теорема. D- ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана D, f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа и.о.точек a_k, k=1,…,n, f непрерывна в DD. Тогда

Тероема о сумме вычитов. Если функция f аналитична в С кроме конечного число точек a₁,…,a_n, то

4. Принцип аргумента.

Теорема. D- ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана D, f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа полюсов a_k, k=1,…,n порядков _k, f непрерывна в DD, f(z)0 в DD, кроме нулей b_kD кратностей _k. Тогда

Доказательство. Выберем достаточно малые окрестности нулей и полюсов функции f(z). Объединение окружностей-границ этих кругов с положительной ориентацией обозначим (см. рисунок).

Область, полученная из D удалением этих окрестностей вместе с их границами, будет p+n+1 связной областью с границей DE^-. В этой области функция аналитична.

Тогда

.

Первый интеграл в правой части этого равенства в силу аналитичности подинтегральной функции. Второй интеграл будет равен

.

В некоторой окрестности нуля b кратности 

. Аналогично, в некоторой окрестности полюса

Теорема. Принцип аргумента ( без доказательства ) В условиях предыдущей теоремы:

(D- ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана D, f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа полюсов a_k, k=1,…,n порядков _k, f непрерывна в DD, f(z)0 в DD, кроме нулей b_k кратностей _k. ) Справедливо равенство

где - приращение аргумента функции f при однократном обходе точкой z границы D ( обл. слева )

Основная теорема алгебра. В C всякий многочлен P(z)=P_n(z) имеет ровно n корней.

следовательно, все нули лежат в некотором круге радиуса R, пусть число нулей с учётом кратностей равно N.

, где (z) аналитична в {R₁<|z|<}. Поэтому имеем разложение в ряд Лорана, тогда

, откуда следует.

§2. Вычисление интегралов

1.Определение несобственного интеграла

Особенности на концах.  - кусочно гладкая, aC ( начало ),b( конец ). F(z) непрерывна во всех конечных z на  кроме быть может точки a. Любая окружность с центром в a пересекает кривую не более чем в одной точке.

Определение. Интеграл сходится абсолютно, если существует .

Аналогично определяется несобственный интеграл в случае внутренних особенностей

2. Интегралы вида

Лемма. Если f(z) аналитична в {Im z >= 0 }, кроме конечного числа и.о.т. a_k{Im z > 0} и , то

Доказательство. Для R>0 рассмотрим контур С=[-R,R] C_R , С_R – верхняя полуокружность, проходимая против часовой стрелки, [-R,R] – отрезок, проходимый слева направо. Считаем, что R выбрано достаточно большим так, что контур C содержит все полюса a_k . Тогда

=

Далее

.

Переходя к пределу в (*) при R получим требуемое равенство.

Обобщённая лемма (без доказательства). Если f(z) аналитична в { |z|R₀, Im z > -a, a>0 } кроме конечного числа о.т. a_k{Im z > 0}, на вещественной оси имеются только полюсы первого порядка b_k и , то

Пример.

3. Интегралы вида

Лемма Жордана. Если f(z) аналитична в { |z|R₀, Im z > -a, a>0 } и (C_R - верхняя полуокружность).

Тогда для любого >0.

Доказательство. На окружности радиуса R имеем . Тогда, учитывая неравенство , для окружности z(t)=Re^it получим

=.

Следствие. При сделанных предположениях

§3Простейшие классы аналитических функций.

Определение 1. Однозначная функция f(z) называется целой, если она аналитична в С. Целая функция называется целой рациональной, если  её полюс. Целая функция называется целой трансцендентной, если  существенно особая точка.

Примеры. e^z, cos z, sin z, P_n(z).

Свойства целых функций

1.  устранимая о.т. целой f, то f есть константа.

Доказательство. Существует предел в бесконечности, поэтому f(z) ограничена в окрестности бесконечности, поэтому она постоянна по теореме Лиувиля.

2.  полюс кратности n, n>=1, то f есть полином степени n.

Доказательство.

, обозначим ,

Функция (z)=f(z)-P_n(z) будет, как разность двух целых функций, аналитической во всей комплексной плоскости и имеет в  устранимую особенность, следовательно она константа по т. Лиувиля.

Определение 2. Однозначная функция f мероморфна в С, если в любом круге нет других о.т. кроме полюсов.

Свойства мероморфных функций.

1. В любом круге лишь конечное число полюсов.

2. Если  - полюс для мероморфной функции, то она рациональна.

Доказательство. Так как  и.о.т., то в расширенной комплексной плоскости имеется лишь конечное число полюсов a₀=, a₁,…,a_n. Имеем ряды Лорана в окрестностях конечных точек

.

Разложение в окрестности  имеет вид

Фунции _m, m=0,…,n – рациональные.

имеет точки a₀,…,a_n своими устранимыми особыми точками, поэтому эта функция, после доопределения, будет ограниченной в С и следовательно константой.

Следствие. Рациональная функция представима в виде суммы многочлена и простейших дробей вида . Это фактически доказано в предыдущей теореме.

ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru