Шпоры к экзамену / Лекции 2 / Курс лекций 1

ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru

Курс лекций по ТФКП 2002-2006 гг.

Логинов А.С.

Глава 1. Основные понятия

§1 Операции над комплексными числами

Напоминание: Комплексные числа, алгебраическая форма, операции над комплексными числами, Im z, Re z, сопряжённые числа и следующие их свойства

,

Аргумент и модуль комплексного числа z=x+iy, ,=arg z, arg z[0,2). zⁿ=rⁿe^i- тригонометрическая форма записи.

Расстояние между комплексными числами (z₁,z₂)=|z₁-z₂|.

Формула Муавра zⁿ=rⁿe^in

Извлечение корней wⁿ=z, , k-целое

§2 Комплексная плоскость

Рис. 1. Стереографическая проекция

Можно показать, что прямые и окружности из C переходят в окружности на S, а углы между пересекающимися кривыми сохраняются.

Множество комплексных чисел удобно интерпретировать как плоскость, которую называют комплексной плоскостью и обозначают C. Комплексная плоскость С с добавленной к ней несобственной «бесконечно удаленной» точкой  называется расширенной комплексной плоскостью и обозначается .

Понятие окрестности. Окрестность точки z₀:U_(z₀)= {|z-z₀|<}. Окрестность бесконечно удалённой точки - U()={|z|>R} . Проколотая окрестность = {0<|z-z₀|<}.

Сходимость, предел последовательности .

Необходимое и достаточное условие сходимости для конечного случая

Критерий Коши сходимости последовательности к конечному пределу

  n m:z_n - z_m 

Комплексные ряды  z_n =  x_n + i  y_n . Абсолютная сходимость. Сумма, разность, перестановка и перемножение абсолютно сходящихся рядов.

§3 Некоторые понятия, относящиеся к множествам. Кривые.

Диаметр множества M : dM =.

Расстояние между множествами M₁,M₂ : .

Предельная точка множества – точка в любой проколотой окрестности которой есть хотя бы одна точка множества.

Замкнутое множество – множество, содержащее все свои предельные точки. Внутренняя точка множества – точка, принадлежащая множеству вместе с некоторой своей окрестностью , открытое множество – множества, каждая точка которого внутренняя.

Граничная точка множества – любая окрестность точки содержит как точки из множества, так и точки из его дополнения. Граница множества E (множество всех граничных точек) обозначается E, она всегда замкнута.

Кривая z=z(t):{ x=x(t), y=y(t), t[,] }, ориентация кривой, непрерывная кривая – x(t),y(t) обе непрерывны.

Непрерывная кривая называется простой или кривой Жордана, если различным значениям t₁,t₂ ( кроме может быть  и  ) соответствуют различные точки z(t₁), z(t₂) на комплексной плоскости.

Кривая замкнута (не путать с замкнутостью в смысле теории множеств ), если z()=z().

Связное множество. Любые две точки этого множества можно связать простой кривой, лежащей в этом множестве.

Областью, если не оговорено что-либо другое, будем называть связное открытое множество.

Область DC называется n- связной, если  D состоит из n связных попарно непересекающихся компонент.

Кривая называется гладкой, если x(t),y(t) и их производные непрерывны и z(t)=x(t)+iy(t)0. Если кривая замкнута, то дополнительно требуется z()=z() ( точнее z(+0)=z(-0) ).

Кусочно гладкая кривая. Непрерывная кривая, состоящая из конечного числа гладких кусков.

§4 Функции комплексного переменного

Определение. w = f(z), z  D. Каждому z в соответствие одно или несколько значений, отображение.

Примеры:

w = z², z  C, однозначная функция.

w = является многозначной функцией

w = ln z = ln r + i ,  = arg z  (0,2], D = C\{0}, однозначная функция.

w = Arg z = arg z + 2k, (k-любой целое) многозначная функция.

w = Ln z = ln r + i ( + 2k),  = arg z  (0,2], k-целое, D = C\0, многозначная функция.

w = z^b = e^{b Ln z} может быть для некоторых b многозначной ( для натуральных b определение согласуется с операцией возведения в степень путём перемножения ).

Если функция f(z) однозначная, то можно обычным образом определить обратную функцию . Для этого обозначим через D область определения функции f(z), а область ее значений через  . Обратная функция f ^-1 будет определена на  и каждому значению w из  будет сопоставлять все те значения z из D для которых f(z)=w. Обратная функция не обязана быть однозначной.

Если f и f ^-1 однозначные, то отображение z  w = f(z) называется однолистным (отображение взаимно однозначное ).

Пример: функция w=z² отображает однолистно область D={|z|<1,0<arg z < } верхний полукруг на круг с разрезом по положительной вещественной оси

При исследовании многозначных функций выделяют однозначные ветви. Например, рассмотрим функцию , в качестве области определения D возьмём всю комплексную плоскость с вырезом по положительной части действительной оси, x[0,). В этой области рассмотрим функции (здесь главное значение аргумента комплексного числа считается выбираемым в диапазоне 0  arg z  2). Эти функции представляют собой однозначные ветви исходной функции в области D. Первая отображает область D на верхнюю полуплоскость, вторая функция отображает область D на нижнюю полуплоскость. Однозначные ветви можно выделять по разному.

Определение предела и непрерывность

По Коши:

:0 0 z,0z – z₀  : f(z) - A

: R 0z, 0z – z₀  :| f(z)| > R

: 0 r z,z>r : f(z) - A

: R r z,z>r : | f(z)| > R

Аналогично даются определение по Гейне: {z_n}, z_nz₀, z_n z₀ :lim f(z_n) = A.

Замечание: Существование конечного lim f(z) при zz₀ эквивалентно существованию двух пределов lim Re f, lim Im f.

Непрерывность =f(z₀)

Замечание: Если f(z₀), то непрерывность в этой точке эквивалентна непрерывности действительной и мнимой части в этой точке.

Пример: Функция f(z) = 1/z при z0 и равная  при z=0 является непрерывной в точке z=0.

§5 Функциональные последовательности и ряды

f_n(z),  f_n(z), f_n(z)-однозначные функции.

Ряд называется равномерно сходящимся на D, если его частичные суммы S_n(z) равномерно сходятся на D к S(z)

Критерий Коши -0  n m (натурального или ноль) zD: ||  

Достаточный признак Вейерштрасса

f_k(z)_k,zD и _k сходится, то ряд  f_k(z) сходится на D равномерно.

Полезная теорема. Сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций, есть функция непрерывная.

§6 Степенные ряды

1. Основные свойства степенных рядов.

Напоминание:

Признаки Даламбера и Коши для положительных рядов ( вещественных )

a_k, 0  a_k

Даламбер: Если a_k, a_k > 0 и, q < 1, то сходится, q > 1, то расходится.

Определение верхнего предела

Коши: Если a_k, a_k  0 и, q < 1, то сходится, q > 1, то расходится.

Комплексные степенные ряды:

 c_n (z-z₀)ⁿ или

 c_n zⁿ (1)

Теорема 1 (Абель ) Если ряд (1) сходится в точке z₀  0, то он сходится абсолютно в круге |z| < |z₀|.

Доказательство: Ряд сходится, следовательно (необходимое условие сходимости ряда) . Поэтому для общего члена ряда можно выписать оценку . Таким образом, исходный ряд мажорируется сходящимся рядом .

Следствие 1. Для любого степенного ряда (1) существует число R (0R) такое, что при |z|<R ряд сходится, при |z|>R ряд расходится. Это число называется радиусом сходимости степенного ряда. Круг |z| < R называется кругом сходимости.

Следствие 2. Радиус сходимости комплексного степенного ряда (1) совпадает с радиусом сходимости вещественного степенного ряда

Для этого утверждения необходимо сначала показать, что ряд (1) и ряд

(2)

имеют одинаковые круги сходимости. Действительно пусть их круги сходимости имеют радиусы R₁, R₂. Во всех точках |z|<R₁ ряд (1) сходится абсолютно и, следовательно, (2) тоже сходится абсолютно, т.к. ряды из модулей для (1) и (2) одинаковы. По этой же причине справедливо обратное утверждение, во всех точках |z|<R₂ будет сходится абсолютно не только ряд (2), но и ряд (1). После этого можно рассмотреть ряды и и показать, что они имеют один и тот же радиус сходимости.

В частности, комплексный ряд с вещественными коэффициентами имеет тот же радиус сходимости. Что и вещественный ряд с этими коэффициентами.

Теорема 2 (Абель ) Если ряд (1) имеет радиус сходимости R, то он сходится равномерно в любом круге радиуса r < R.

Доказательство: По первой теореме Абеля ряд |c_kr^k| сходится, кроме того c_kz^kc_k r^k (z/r)^k <  c_k r^k | для всех z: |z| < r. По признаку Вейерштрасса ряд сходится равномерно на этом множестве.

Теорема (Коши, Адамар) Радиус сходимости ряда (1) определяется по формуле R= ().

Примеры:

1) , имеем c_n = 0, если n  k², c_n = 2^k, если n = k². Поэтому , так остальные коэффициенты при n0,c_n=0. Далее .

2) По определению полагаем

, по признаку Даламбера R = , либо согласно следствию 2 из первой теоремы Абеля .

3) По определению полагаем

, рассматривая соответствующий вещественный ряд и используя следствие 2 из первой теоремы Абеля, получим R = . Очевидно sin (-z) = - sin z.

4) По определению полагаем

, рассматривая соответствующий вещественный ряд и используя следствие 2 из первой теоремы Абеля, получим R = . Очевидно cos (-z) = cos z.

5) По определению полагаем

, рассматривая соответствующий вещественный ряд и используя следствие 2 из первой теоремы Абеля, получим R = .

6) По определению полагаем

, рассматривая соответствующий вещественный ряд и используя следствие 2 из первой теоремы Абеля, получим R = .

2.Свойства экспоненциальной и основных тригонометрических функций.

a) , действительно .

Следствие:

c) cos z = , sin z =

Пример: |sin (iy) | = ||=|sh y| при y.

d) e^u+v=e^u e^v

e) e^z+2i = e^ze^2i=e^z, таким образом период = 2i, откуда следует, что sin и cos имеют период 2.

f) Из c) и d) следует, что sin²z + cos²z = 1 (непосредственная проверка)

g) sin iz = i sh z, cos iz = ch z, ch²z – sh²z = 1. Доказывается, используя формулы Эйлера.

ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru