Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Шпоры к экзамену / методичка по ТФКП.doc
Скачиваний:
337
Добавлен:
11.05.2014
Размер:
752.13 Кб
Скачать

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа. Комплекснозначная функция f(t), t(-,) называется оригиналом, если

  1. f(t)=0 при t<0

  2. в (a,b) есть лишь конечное число разрывов первого рода. Иногда, дополнительно будет требоваться выполнение условия Липшица

|f(t+h)-f(t)|A|h|, для всех h,|h|h0, 1 на интервалах непрерывности функции

  1. M s t: |f(t)|Mest (*)

Число , S – множество тех s, для которых выполенно условие (*), называется показателем роста оригинала.

Пример. Функция Хевисайда

является оригиналом нулевого показателя роста.

Изображением функции оригинала f(t) ( по Лапласу ) называют функцию комплексного переменного p=s+i, определяемую равенством

Пишут F=L[f], F f, fF.

Свойства преобразования Лапласа. Далее в этом разделе везде под f(t) понимается f(t)H(t).

Преобразования Лапласа простейших функций: ,

Свойство линейности f(t)+g(t)F(p)+G(p).

Свойство подобия. При 0

Свойство запаздывания. Для  f(t-)e-pF(p).

Дифференцирование изображения F(n)(p)(-1)ntnf(t).

Дифференцирование оригинала f(t)pF(p)-f(0).

Следствие. f(n)(t)pnF(p)-pn-1f(0)-pn-2f(0)-…-f(n-1)(0)

Интегрирование изображения

Если f(t)F(p), Re p > s0 и - оригинал, то

Интегрирование оригинала.

Если f(t)F(p), Re p > s0, то

Свертка оригиналов и умножение изображений.

Свертка определяется по формуле . Отметим, что f*g=g*f.f*gF(p)G(p)

Отметим, что если f, g – оригиналы, то и f*g – оригинал.

Умножение оригиналов, свёртка изображений

Таблица основных свойств преобразования Лапласа

f(t)+g(t)F(p)+G(p)

0 ,

, f(t-)e-pF(p)

F(p-)etf(t)

f’(t)pF(p)-f(0),

f(n)(t)pnF(p)-pn-1f(0)-…-f(n-1)(0)

Таблица некоторых преобразований Лапласа

Оригинал

Изображение

Оригинал

Изображение

1

t(>-1)

11

ch t

2

e-t

12

3

e-t t (>-1)

13

4

sin t

14

5

cos t

15

6

tn sin t

16

7

tn cos t

17

8

e-t sin (t+)

18

9

e-t cos (t+)

19

10

sh t

20

Пример 1. x+a2x=bsinat, общие начальные данныеx0,x1,

, поэтому

Согласно 5 из таблицы ,

согласно 4 из таблицы ,

согласно 6 из таблицы , отсюда, используя свойство интегрирования оригинала, получим, откуда

Окончательно

Пример 2. x+3x+3x+x=1, нулевые начальные условия.

(p+1)3X(p)=1/p,. Откуда

Пример 3. x+x=1, нулевые начальные условия.

Оригинал находим по второй теореме Хевисайда

Пример 3. x+x=1, нулевые начальные условия.

,

По второй теореме Хевисайда

Пример 4. , нулевые условия. Используя 4 из таблицы, получим. По второй теореме Хевисайда

=

Пример 5. x’’+2x=a[H(t)-H(t-b)], нулевые начальные условия.

, по второй теореме Хевисайда

Свойство запаздывания дает

Окончательно

Пример 6.

x+ax=f(t), нулевые условия

Соседние файлы в папке Шпоры к экзамену