
- •Методическая разработка Решение задач по тфкп
- •Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Комплексная плоскость.
- •Интегральная формула Коши
- •1. Вычислить интеграл
- •2. Вычислить интеграл из примера 1, если контур Cпредставляет собой окружность с центром в начале координат и радиуса 4.
- •Решение. Данный интеграл является интегралом Коши для функции
- •Решение. Представим интеграл в виде
- •Разложение в ряд Лорана. Изолированные особые точки.
- •Вычисление вычетов.
- •Операционное исчисление
Операционное исчисление
Преобразование Лапласа. Комплекснозначная функция f(t), t(-,) называется оригиналом, если
f(t)=0 при t<0
в (a,b) есть лишь конечное число разрывов первого рода. Иногда, дополнительно будет требоваться выполнение условия Липшица
|f(t+h)-f(t)|A|h|, для всех h,|h|h0, 1 на интервалах непрерывности функции
M s t: |f(t)|Mest (*)
Число
,
S – множество тех s, для которых выполенно
условие (*), называется показателем роста
оригинала.
Пример. Функция Хевисайда
является оригиналом нулевого показателя роста.
Изображением функции оригинала f(t) ( по Лапласу ) называют функцию комплексного переменного p=s+i, определяемую равенством
Пишут F=L[f], F f, fF.
Свойства преобразования Лапласа. Далее в этом разделе везде под f(t) понимается f(t)H(t).
Преобразования
Лапласа простейших функций:
,
Свойство линейности f(t)+g(t)F(p)+G(p).
Свойство подобия. При 0
Свойство запаздывания. Для f(t-)e-pF(p).
Дифференцирование изображения F(n)(p)(-1)ntnf(t).
Дифференцирование оригинала f(t)pF(p)-f(0).
Следствие. f(n)(t)pnF(p)-pn-1f(0)-pn-2f(0)-…-f(n-1)(0)
Интегрирование изображения
Если
f(t)F(p),
Re p > s0
и
-
оригинал, то
Интегрирование оригинала.
Если f(t)F(p), Re p > s0, то
Свертка оригиналов и умножение изображений.
Свертка
определяется по формуле
.
Отметим, что f*g=g*f.f*gF(p)G(p)
Отметим, что если f, g – оригиналы, то и f*g – оригинал.
Умножение оригиналов, свёртка изображений
Таблица основных свойств преобразования Лапласа
|
|
f(t)+g(t)F(p)+G(p) |
|
|
|
0
, |
, f(t-)e-pF(p) |
F(p-)etf(t)
|
|
f’(t)pF(p)-f(0), |
f(n)(t)pnF(p)-pn-1f(0)-…-f(n-1)(0)
|
|
|
|
Таблица некоторых преобразований Лапласа
|
Оригинал |
Изображение |
|
Оригинал |
Изображение |
1 |
t(>-1) |
|
11 |
ch t |
|
2 |
e-t |
|
12 |
|
|
3 |
e-t t (>-1) |
|
13 |
|
|
4 |
sin t |
|
14 |
|
|
5 |
cos t |
|
15 |
|
|
6 |
tn sin t |
|
16 |
|
|
7 |
tn cos t |
|
17 |
|
|
8 |
e-t sin (t+) |
|
18 |
|
|
9 |
e-t cos (t+) |
|
19 |
|
|
10 |
sh t |
|
20 |
|
|
Пример 1. x+a2x=bsinat, общие начальные данныеx0,x1,
,
поэтому
Согласно 5 из
таблицы
,
согласно 4 из
таблицы
,
согласно 6 из
таблицы
,
отсюда, используя свойство интегрирования
оригинала, получим
,
откуда
Окончательно
Пример 2. x+3x+3x+x=1, нулевые начальные условия.
(p+1)3X(p)=1/p,.
Откуда
Пример 3. x+x=1, нулевые начальные условия.
Оригинал
находим по второй теореме Хевисайда
Пример 3. x+x=1, нулевые начальные условия.
,
По второй теореме Хевисайда
Пример 4.
,
нулевые условия. Используя 4 из таблицы,
получим
.
По второй теореме Хевисайда
=
Пример 5. x’’+2x=a[H(t)-H(t-b)], нулевые начальные условия.
,
по второй теореме Хевисайда
Свойство
запаздывания дает
Окончательно
Пример 6.
x+ax=f(t), нулевые условия