§ 1. Основні поняття теорії імовірності

У своїй практичній діяльності ми завжди стикаємося з явищами, результат дії яких важко, а іноді і неможливо передбачити, оскіль­ки наслідки цього залежать від випадку. Наприклад, який застра­хований об'єкт буде знищено внаслідок стихійного лиха — справа випадку. Але страхові органи керуються в своїй діяльності передба­ченням не кожного окремого об'єкта, а значної кількості об'єктів. При вивченні їх у великій кількості можна передбачити їх стан у майбутньому. Тому при статистичному обробленні емпіричних да­них використовують певні визначення і правила, встановлені тео­рією імовірності.

Теорія імовірності — це математична наука, яка виникла усере­дині XVII ст. Першими працями, в яких наводилися основні по­няття теорії імовірності, прийнято вважати роботи французів Б.Паскаля (1623—1662), П. Ферма (1601—1665) і голландця X. Гюй-генса (1629—1695). Подальший розвиток теорії імовірності пов'я­зують з ім'ям швейцарського математика Я.Бернуллі (1654—1705), котрий у 1713 р. вперше в елементарному вигляді довів теорему, яка в подальшому була названа законом великих чисел.

У XIX ст. теорія імовірності з успіхом застосовується в страховій справі, статистиці народонаселення, біології і військових науках, особливо в артилерії. В цей період вона збагачується працями П. Лапласа (1749-1827), К. Гаусса (1777-1855), С. Пуассона (1784-1840) та ін.

Значний внесок у розвиток теорії імовірності здійснили ро­сійський вчений П. Чебишев (1821—1894) та його учні А. Марков (1892—1922) і О. Ляпунов (1857—1918). Своїми працями вони пе­ретворили теорію імовірності на систематизовану і чітку математич­ну науку.

Зараз цю науку використовують у всіх галузях знань, де дослід­жуються прояви випадкових явищ зі стійкою частотою, наприклад, народжуваність дівчаток або хлопчиків на певній території за три­валий проміжок часу.

Теорія імовірності — це розділ математики, в якому вивчають­ся тільки випадкові явища (події) з стійкою частотою і встановлю­ються закономірності при їх масовому повторенні.

Одне з головних визначень теорії імовірності — це поняття події. Явища, які розглядаються, з огляду на те, здійснилися вони чи ні, називають подіями. Стосовно подій ставиться таке основне завдання: передбачити, чи з'явиться (здійсниться) досліджувана подія при настанні того чи іншого наперед заданого комплексу факторів.

Якщо при даному комплексі факторів обов'язково відбудеться подія, то вона має назву достовірної події. Якщо при даному ком­плексі факторів подія не може відбутися, то вона іменується немож­ливою подією.

Якщо при даному комплексі факторів подія може відбутися або не відбутися, то вона має назву випадкової події. Інакше кажучи, подія називається випадковою, якщо вона однозначно не визна­чається умовами, в яких протікає, або ми не можемо врахувати всі фактори, які впливають на подію. Наука, що вивчає закономірності масових випадкових подій, і називається теорією імовірності.

Прикладами випадкових подій є народжуваність хлопчика (або дівчини) у конкретній сім'ї; кількість злочинів, учинених за певний проміжок часу, тощо. Кожний окремий злочин — унікальне со­ціально-стихійне діяння з протиправного вирішення суперечнос­тей між людиною і суспільством. Тому ми ніколи не зможемо з аб­солютною достовірністю визначити, де, хто і коли вчинить той чи інший злочин. Злочинність є дзеркалом, в якому ми можемо більш-менш об'єктивно бачити, як функціонує наше суспільство, тому рівень зареєстрованих злочинів є вирішальним фактором при оцінці якості нашого життя.

Застосовувати теорію імовірності можна лише у тих випадках, коли ми внаслідок об'єктивних причин не можемо абсолютно точ­но знати про умови, походження та розвиток явища. Теорія імовір­ності описує лише ті випадкові події, яким притаманні стійкі ча­стоти. Причому чим у менших межах коливаються частоти вихід­них подій, тим точніше теорія імовірності описує досліджуване явище.

Одне з основних понять теорії імовірності — це імовірність. Існують різні підходи до визначення цього поняття. Класичне виз­начення імовірності таке: імовірність випадкової події дорівнює відношенню числа випадків, які сприяють події, до спільного чис­ла можливих випадків. Інакше кажучи, для значної кількості ви­падків імовірність характеризує частоту події.

Кожна подія має числову характеристику у вигляді імовірності. Імовірність завжди знаходиться у межах від 0 до 1 (або у відсотках від 0 до 100%), імовірність випадкової події завжди знаходиться між О та 1, тобто ніколи не дорівнює ні 1, ні 0, оскільки якщо імовірність дорівнюватиме 1, то в цьому випадку ми говоритиме про вірогідність. Нас же цікавить імовірність події, яка наближувати­меться до 1, але в жодному разі імовірність випадкової події не може

дорівнювати 1. і Величина випадкової події характеризується випадковістю, що

', приймає якесь одне значення із деякої множини можливих значень. ; Але яким буде це значення, заздалегідь сказати не можна. Інакше кажучи, випадкова величина має цілий набір припустимих значень і в результаті кожного експерименту набуває лише якогось одного

з них.

Найбільш поширений приклад — випадання герба при підки­данні монети. Зрозуміло, що може бути або герб, або ні. Відомо, що французький вчений Буфон наприкінці XVIII ст. провів експери­мент з підкиданням монети 4040 разів, при цьому 2028 разів випав герб. Тобто в його експерименті частота випадання герба дорівню­вала 0,5069 (2028 / 4040) при імовірності 0,5000 (1/2).

Англійський вчений К. Пірсон провів два експерименти: в ході першого він підкидав монету 12 тис. разів, а в ході другого — 24 тис. При першому експерименті він одержав частоту 0,5016, а при дру­гому — 0,5005.

Викладене свідчить про те, що при збільшенні кількості спос­тережень частота все менше відрізняється від імовірності.