Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
Набор
событий
называется
полной группой
событий,
если они попарно несовместны и их сумма
составляет достоверное событие
Формула
полной вероятности.
Пусть события
образуют полную группу событий (
)
и событие А
может произойти с одним и только с одним
из этих событий. Тогда вероятность
события А
равна
.
Формула Байеса.
Если событие А
произошло, то условные вероятности
(апостериорные) гипотез
вычисляются по формуле Байеса
,
где Р(А) — вероятность события А, вычисленная по формуле полной вероятности.
Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
Ряд классических распределений связан с экспериментом, в котором проводятся последовательные независимые испытания и наблюдается результат совместного осуществления тех или иных исходов каждого испытания.
Последовательные испытания называются независимыми, если вероятность осуществления любого исхода в n-м по счету испытании не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний.
Простейшим
классом повторных независимых испытаний
является последовательность
независимых испытаний с двумя исходами
(«успех» и «неуспех») и
с неизменными
вероятностями «успеха» (р) и «неуспеха»
в каждом
испытании (схема испытаний Бернулли).
Вероятность получить ровно m успехов в n независимых испытаниях вычисляется по формуле, называемой формулой Бернулли
.
Наивероятнейшее число появлений события в схеме Бернулли.
Число наступлений события А называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события А любое другое количество раз.
Наивероятнейшее
число наступлений события А
в n
испытаниях заключено между числами
и
:
.
Если
— целое число, то наивероятнейших чисел
два
и
.
Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Теорема
(Муавра-Лапласа (локальная)).
Если вероятность наступления события
А
в каждом из
n независимых
испытаниях равна р
и отлична от нуля и единицы, а число
испытаний достаточно велико, то
вероятность
того, что в n
испытаниях событие А
наступит
раз, приближенно равна (чем больше n,
тем точнее) значению функции
, где
,
.
(Муавра-Лапласа
(интегральная)).
Если вероятность наступления события
А
в каждом из n
независимых испытаний равна р
и отлична от нуля и единицы, а число
испытаний достаточно велико, то
вероятность того, что в n
испытаниях число успехов m
находится между
и
,
приближенно равна (чем больше n,
тем точнее)
,где
р —
вероятность появления успеха в каждом
испытании,
,
.
Формула Пуассона для редких событий.
Предположим,
что произведение
является постоянной величиной, когда
n
неограниченно возрастает. Обозначим
Тогда для любого фиксированного
и
любого постоянного
:
.
В
случае, когда n
велико, а р
мало (обычно
;
)
вместо формулы Бернулли применяют
приближенную формулу Пуассона
,
где