3. Проверка гипотезы о математическом ожидании нормально распределенной случайной величины.

Пусть нулевая гипотеза H0 состоит в том, что математическое ожидание a нормальной распределенной случайной величины X равно некоторому заданному значению a0. А альтернативной гипотезой H1является гипотеза о том, что a≠ a0. Будем при этом пока предполагать, что параметр  (среднее квадратическое отклонение величины X) известен. Такая задача будет, например, актуальной для станка-автомата, изготавливающего в массовом количестве некоторые детали, размер a0 которых задан. Если станок настроен правильно, то размер X изготавливаемых им деталей будет случайной величиной, распределенной нормально с известным математическим ожиданием a = a0и известным средним квадратическим отклонением , определяемым классом точности станка. Но если станок настроен неправильно, у него будет a ≠ a0. Отобрав из продукции станка некоторую совокупность деталей и обмерив их, можно попытаться узнать, верна ли гипотеза H0 о том, что a=a0, или она должна быть отклонена в пользу альтернативной гипотезы H1,утверждающей, что a ≠ a0.Итак, гипотеза H0­ сформулирована. Попробуем найти критерий ее правильности или неправильности.

0

-kкр

kкр

K = - a0

Пусть выборочная средняя , являющаяся точечной оценкой генеральной средней = a, из выборки найдена. Предположим, что гипотеза H0верна, то есть что  = a = a0. В качестве случайной величины K, с помощью которой будем проверять гипотезу H0, возьмем нормально распределенную случайную величинуK = - a0, математическое ожидание которой, если верна гипотеза H0, равно нулю. Выберем некоторый уровень значимости α. Если гипотеза H0 верна, то отклонение K = - a0 от нуля должно быть невелико, то есть практически должно находится в некоторых границах (-kкр; kкр). А выход его за эти границы следует считать опровержением гипотезы H0. То есть оставшиеся вне интервала (-kкр; kкр) участки числовой оси Оkмы будем считать критической областью – областью непринятия гипотезы H0. При условии справедливости H0 ее непринятие – это ошибка первого рода. Поэтому вероятность попадания значенияkвеличины K = - a0 в критическую область должна быть равна вероятности совершить ошибку первого рода, то есть должна равняться принятому уровню значимости α. А вероятность попадания значения k в область (-kкр; kкр) принятия гипотезы H0 тогда должна быть равна γ = 1-α (см. рис. 6.4).Очевидно, что чем меньше будет выбран уровень значимости α, то есть чем меньшей будет установлена вероятность совершить ошибку первого рода – отвергнуть нулевую гипотезу Н0, если она верна, тем шире должен быть интервал (-kкр; kкр) принятия этой гипотезы. При α = 0 должна быть вообще исключена возможность отвергнуть проверяемую гипотезу H0, если она верна. Но тогда в любом случае ее нужно принять. А это будет, согласно рис. 3.4, если заштрихованной области непринятия гипотезы H0 не будет вообще. То есть когда (-kкр; kкр) = (- ∞; ∞).Итак, подведем итог. При заданном α ≠ 0 гипотеза Н0 должна быть отвергнута, если экспериментальное значение k=kэксп нормально распределенной случайной величины К = - a0 окажется вне интервала (-kкр; kкр). И она же может быть принята, если k=kэксп попадет в интервал (-kкр; kкр).Согласно имеем:Сравнивая это равенство с равенством вытекающем из равенства, если в последнем заменить  на a0 и  на , получим