Линейная модель множественной регрессии.
Модель множественной регрессии строится в том случае, если коэффициент множественной корреляции показал наличие связи между исследуемыми переменными.
Общий вид линейной модели множественной регрессии: yi=β0+β1x1i+…+βmxmi+εi,
где yi –
значение i-ой результативной (зависимой,
эндогенной) переменной,
x1i…xmi – значения факторных переменных; β0…βm - неизвестные коэффициенты модели множественной регрессии; εi – случайные ошибки модели множественной регрессии.
При построении нормальной линейной модели множественной регрессии учитываются 5 условий:
1) факторные переменные x1i…xmi - неслучайные или детерминированные величины, которые не зависят от распределения случайной ошибки модели регрессии βi;
2) математическое
ожидание случайной ошибки модели
регрессии равно нулю во всех наблюдениях:
3) дисперсия случайной ошибки модели регрессии постоянна для всех наблюдений:
4) между значениями
случайных ошибок модели регрессии в
любых двух наблюдениях отсутствует
систематическая взаимосвязь, т.е.
случайные ошибки модели регрессии не
коррелированны между собой (ковариация
случайных ошибок любых двух разных
наблюдений равна нулю):
Это условие выполняется в том случае, если исход данные не являются временными рядами;
5) (на основании 3 и 4 условий ) случайная ошибка модели регрессии - это случайная величина, подчиняющейся нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2: εi~N(0, G2).
Общий вид нормальной линейной модели парной регрессии в матричной форме:Y=X* β+ε,
Где
– случайный
вектор-столбец значений результативной
переменной размерности (n*1), представляющий
собой n наблюдений
значений yj,
- матрица
значений факторной переменной
размерности (n*(m+1)). Первый столбец
является единичным, потому что в модели
регрессии коэффициент β0 умножается
на единицу;
– вектор-столбец
неизвестных коэф-тов (параметров) модели
регрессии размерности ((m+1)*1), подлежащий
оцениванию
– вектор-столбец
случайных отклонений (возмущений) ошибок
модели регрессии размерности (n*1).
Включение в линейную модель множественной регрессии случайного вектора-столбца ошибок модели обусловлено тем, что практически невозможно оценить связь между переменными со 100% точностью.
Условия построения нормальной линейной модели множественной регрессии, записанные в матричной форме:
1) факторные переменные x1j…xmj – неслучайные или детерминированные величины, которые не зависят от распределения случайной ошибки модели регрессии εi.
В терминах матричной записи Х называется детерминированной матрицей ранга (k+1), т.е. столбцы матрицы X линейно независимы между собой и ранг матрицы Х равен m+1<n; т.е. ранг матрицы X должен быть равен числу оцениваемых параметров m+1
2) математическое ожидание случайной ошибки модели регрессии = нулю во всех наблюдениях;
3) предположения о том, что дисперсия случайной ошибки модели регрессии является постоянной для всех наблюдений и ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю, записываются с помощью ковариационной матрицы случайных ошибок нормальной линейной модели множественной регрессии:
Где G2 – дисперсия случайной ошибки модели регрессии ε; In – единичная матрица размерности (n*n).
4) случайная ошибка модели регрессии ε является независимой и независящей от матрицы Х случайной величиной, подчиняющейся многомерному нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2: ε→N(0;G2In.
В нормальную линейную модель множественной регрессии должны входить факторные переменные, удовлетворяющие следующим условиям:
1) данные переменные должны быть количественно измеримыми;
2) каждая факторная переменная должна достаточно тесно коррелировать с результативной переменной;
3) факторные переменные не должны сильно коррелировать друг с другом или находиться в строгой функциональной зависимости.