48. Применение обобщенного метода наименьших квадратов (омнк) для случая гетероскедастичности остатков.

При нарушении гомо-сти и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный МНК заменять обобщенным методом.

ОМНК применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии. Остановимся на использовании ОМНК для корректировки гетероскедастичности.

Пусть среднее значение остаточных величин равно нулю. А вот дисперсия их не остается неизменной для разных значений фактора, а пропорциональна величине K_i , т. е.: σ²_εi =σ² *K i , где σ²_εi – дисперсия ошибки при конкретном i -м значении фактора; σ²– постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о гомо-сти остатков; K_i – коэффициент пропорциональности, меняющийся с изменением величины фактора, что и обусловливает неоднородность дисперсии. При этом предполагается, что σ² неизвестна, а в отношении величин K_i выдвигаются определенные гипотезы, характеризующие структуру гетеро-сти.

В общем виде для уравнения y_i =a+bx_i +ε_i при σ²_εi =σ² *K i модель примет вид: y_i =a+bx_i + _iε_i. В ней остаточные величины гетеро-ны. Предполагая в них отсутствие автокорреляции, можно перейти к уравнению с гомо-ми остатками, поделив все переменные, зафиксированные в ходе i -го наблюдения, на _i. Тогда дисперсия остатков будет величиной постоянной, т. е. σ²_εi =σ². Иными словами, от регрессии y по x мы перейдем к регрессии на новых переменных: y/ и x/ . Уравнение регрессии примет вид:

,

а исходные данные для данного уравнения будут иметь вид:

По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляет собой взвешенную регрессию, в которой переменные y и x взяты с весами 1/ . Оценка параметров нового уравнения с преобразованными переменными приводит к взвешенному МНК, для которого необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений вида:

Соответственно получим следующую систему нормальных уравнений:

Если преобразованные переменные x и y взять в отклонениях от средних уровней, то коэффициент регрессии b можно определить как:

При обычном применении МНК к уравнению линейной регрессии для переменных в отклонениях от средних уровней коэффициент регрессии b определяется по формуле:

Как видим, при использовании ОМНК с целью корректировки гетероскедастичности коэффициент регрессии b представляет собой взвешенную величину по отношению к обычному МНК с весом 1/K .

Аналогичный подход возможен не только для уравнения парной, но и для множественной регрессии.

49. Применение теста Стьюдента в процедуре подбора переменных в модели множественной регрессии.

Множественная регрессия широко используется в решение проблем спроса, доходности акций, изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и целого ряда других вопросов эконометрики. В настоящее время множественная регрессия - один из наиболее распространенных методов в эконометрике. Основная цель множественной регрессии - построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемые показатели.

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели, включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии.

Включение в уравнения множественной регрессии того или иного набора факторов связано, прежде всего, с представлением исследователя о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями. Факторы, включаемые во множественную регрессию должны отвечать следующим требованиям:

• должны быть количественно измеримы;

• не должны быть интеркоррелированы и, тем более, находиться в точной функциональной связи.

Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснять вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором р-факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации R², который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии р-факторов. Влияние других, неучтенных в модели факторов, оценивается как 1-R² с соответствующей остаточной дисперсией S² .

При дополнительном включении в регрессию фактора (1+р) коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться: R²_p+1 >= R²_p и S²_р+1 =< S²_р

Если же этого не происходит и данные показатели практически мало отличаются друг от друга, то включаемые в анализ фактор х_р+1 не улучшает модель и практически является лишним фактором. Насыщение модели лишними факторами не только не снижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметром регрессии по t –критерию Стьюдента.

Т.о., хотя теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое число факторов, практически в этом нет необходимости. Отбор факторов производится на основе качественного теоретико-экономического анализа. Однако теоретический анализ часто не позволяет однозначно ответит на вопрос о количественной взаимосвязи рассматриваемых признаков и целесообразности включения фактора в модель. Поэтому отбор факторов обычно осуществляется в две стадии: на первой – подбирают факторы исходя из сущности проблемы; на второй – на основе матрицы показателей корреляции определяют t-статистики для параметров регрессии.