14. Построение двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах, переход к полярным координатам.

Свойства двойного интеграла:

• Аддитивность. Если функция f(x, y) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D1 и D2, то функция f(x, y) интегрируема в каждой из областей D1 и D2, причем

• Линейное свойство. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, а α и β - любые вещественные числа, то функция [α · f(x, y) + β · g(x, y)] также интегрируема в области D, причем

• Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то и произведение этих функций интегрируемо в D.

• Если функции f(x, y) и g(x, y) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области f(x, y) ≤ g(x, y), то

• Если функция f(x, y) интегрируема в области D, то и функция |f(x, y)| интегрируема в области D, причем

(Конечно, из интегрируемости |f(x, y)| в D не вытекает интегрируемость f(x, y) в D.)

• Теорема о среднем значении. Если обе функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, функция g(x, y) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, M и m - точная верхняя и точная нижняя грани функции f(x, y) в области D, то найдется число μ, удовлетворяющее неравенству m ≤ μ ≤ M и такое, что справедлива формула

В частности, если функция f(x, y) непрерывна в D, а область D связна, то в этой области найдется такая точка (ξ, η), что μ = f(ξ, η), и формула (11) принимает вид

• Важное геометрическое свойство. равен площади области D (Это свойство, как уже отмечалось ранее, непосредственно вытекает из определения интегрируемости, данного в пункте Определение и существование двойного интеграла для произвольной области)

Все остальное должно присутствовать в лекции, так как много расписывать из формул.

15. Приложения двойного интеграла.

• Вычисление площадей

• Вычисление объёмов тел

Пусть тело V ограничено (рис. 2.12) сверху —

только одной поверхностью ; снизу — только одной

поверхностью .

Линия L пересечения этих поверхностей проектируется в

границу Г области D, на которой заданы непрерывные функции , .

При этих условиях:

Доказательство формулы (2.17) легко провести на основе геометрического смысла двойного интеграла.

• Центр тяжести плоской фигуры

Если , то координаты и центра С находятся так:

16. Построение тройного интеграла. Свойства тройного интеграла. Сведение к двойному.

1. Физический смысл тройного интеграла

Если f(x; y; z) > 0 на U, то масса M тела переменной плотности γ = f(x; y; z) вычисляется по формуле:

2. Объём тела

Доказательство

Так как f(x; y; z) = I > 0 на U, то – масса тела с плотностью γ = 1.

Поэтому M = γ · V = 1 · V = V. В итоге I = V, что и требовалось доказать.

3.

4.

5. Если U = U1 U2, где U1 и U2 не пересекаются, то

6. Если известны наименьшее m и наибольшее M значения непрерывной функции f(x;y;z), (x;y;z) U в области U, то тройной интеграл оценивается так:

7. Теорема 2.6 (о среднем значении для тройного интеграла):

где M* – некая "средняя" точка области U, f(x; y; z) – непрерывна в U.

Доказательство

Используем свойство (6):

Число I/U – является промежуточным значением непрерывной функции f(x ;y; z), поэтому существует точка M*, такая, что в итоге , что и требовалось доказать.

Все остальное должно присутствовать в лекции, так как много расписывать из формул.