Производная сложной функции. Полная производная.
Производная сложной функции - Если функция u(x) дифференцируема в точке , а функция
y
= f(u)
дифференцируема в точке
= f(
),
то сложная функция F(x)
= f(u(x))
дифференцируема в точке
,
причем: F
'(
)
= f '(u(
))u'
(
).
Полная производная. Теорема:
Пусть
на множестве
задана дифференцируемая по переменным
функция
и функции
,
),..:,
в свою очередь являются дифференцируемыми
функциями m
независимых переменных
.
Тогда функция является сложной
дифференцируемой функцией независимых
переменных
и частные производные от функции w
по этим переменным равны:
|
,
где
Дифференциал сложной функции.
Пусть функция u = u(x) дифференцируема в точке , а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке = u( ), тогда сложная функция
y = f(u(x)) дифференцируема в точке , причем
df(u(x)) = f '(u0)u '(x0)dx.
Так как u '( )dx = du, то df(u(x)) = f '( )du
Последняя формула показывает, что дифференциал функции записывается формулой одного и того же вида как в случае функции от независимой переменной, так и в случае функции от функции.
Это свойство первого дифференциала называют инвариантностью (неизменностью).
Следует обратить внимание на то, что инвариантна (неизменна) именно лишь форма дифференциала, так как в содержании формулы дифференциала фкнкции есть существенное отличие от содержания формулы дифференциала от независимой переменной.
u - независимая переменная
y = f(u); dy = f '(u)du; du = Δu
u - функция некоторой переменной x
y = f(u(x)); dy = f '(u)du; du ≠ Δu
так как Δu = du + α(Δx)Δx; α(Δx) - б.м.ф. при Δx→0
Заметим, что дифференциалы высших порядков свойством инвариантности не обладают.
Производные высших порядков сложной функции.
Производная неявной функции.
Во многих задачах функция y(x) задана неявным образом. Например, для приведенных ниже функций
невозможно получить зависимость y(x) в явном виде.
Алгоритм вычисления производной y'(x) от неявной функции выглядит следующим образом:
Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по отношению к x, предполагая, что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции;
Решить полученное уравнение относительно производной y'(x).
Производная по направлению.
В математическом анализе, производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.
Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.
Рассмотрим
функцию
от n
аргументов в окрестности точки
.
Для любого единичного вектора
определим производную функции
в точке
по направлению e
следующим образом:
Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора e.
Если направление со направленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает с частной производной по этой координате.