Ответы по предмету Высшая Математика

1. Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Пусть — числовая последовательность.

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности.

Вообще, для обозначения ряда используется символ , поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.

В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:

• числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм;

• числовой ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм:

• числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.

Если числовой ряд сходится, то предел S последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда: .

Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится. Элементы ряда представляют собой комплексные числа (в частности, вещественные).

Пусть — числовой ряд. Число называется n-ой частичной суммой ряда .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае

пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Сходимость означает то, что бесконечная последовательность или сумма бесконечного ряда или несобственный интеграл имеют предел.

• Понятия имеют смысл для произвольных последовательностей, рядов и интегралов:

• Предел последовательности

• Предел функции

• Абсолютная сходимость

• Условная сходимость

Необходимый признак сходимости ряда

Ряд может сходиться лишь в том случае, когда член (общий член ряда) стремится к нулю:

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда существует такое число что начиная с некоторого номера выполняется неравенство то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера то ряд расходится.

Теорема 1: Признак Даламбера.

Пусть . Тогда:

1. Если , то ряд сходится.

2. Если , то ряд расходится.

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

Пусть даны два знакоположительных ряда: и Тогда, если, начиная с некоторого места ( ), выполняется неравенство: то из сходимости ряда следует сходимость . Или же, если ряд расходится, то расходится и .

Доказательство:

Обозначим частные суммы ряда . Из неравенств следует, что Поэтому из ограниченности вытекает ограниченность а из неограниченности следует неограниченность . Справедливость признака вытекает из критерия сходимости для .

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда , с неотрицательными членами существует такое число d, , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится.

Теорема 1: Радикальный признак Коши.

Пусть и существует предел . Тогда:

1. Если , то ряд сходится.

2. Если , то ряд расходится.

Интегральный признак Коши́-Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши-Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на , последний часто может быть найден в явном виде.

Теорема 1: Интегральный признак Коши.

Пусть определена на [1; , непрерывна там и является невозрастающей.

Тогда ряд сходится сходится интеграл

Формулировка теоремы:

Пусть для функции f(x) выполняется: (функция принимает неотрицательные значения) (функция монотонно убывает) (соответствие функции ряду) Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.