2.3. Правило Лопиталя

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределённостей типа и . Пусть при xa функции f(x) и g(x) обе бесконечно малые или бесконечно большие. Тогда предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует (в указанном смысле):

. (2.5)

Пример 2.6. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

а)

б) .

Решение. а) Здесь имеется неопределенность вида , поэтому можно применить правило Лопиталя:

.

Поскольку неопределенность осталась, то снова применим правило Лопиталя, но предварительно учтем, что :

.

б) Здесь имеется неопределенность вида , поэтому можно применить правило Лопиталя:

.

Поскольку неопределенность осталась, то снова применим правило Лопиталя:

.

Для раскрытия неопределенностей , т.е. для вычисления пределов вида , нужно выражение, стоящее под знаком предела, сначала прологарифмировать, а затем уже вычислить предел полученного выражения:

.

В результате исходный предел будет равен

.

Пример 2.7. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

а) ,

б) .

Решение. а) Здесь имеется неопределенность вида . Пусть . Тогда

.

Рассмотрим последний предел

.

Ёще раз применим правило Лопиталя

.

Таким образом, , т.е.

.

б) Здесь имеется неопределенность вида . Пусть . Тогда

.

Применим правило Лопиталя:

.

Ещё раз применяем правило Лопиталя:

.

Таким образом, , т.е.

.

2.4. Исследование функции методами дифференциального исчисления

Если функция f(x) дифференцируема на (a,b) и (или ), то функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b).

Максимум и минимум функции называются экстремумом функции.

Необходимое условие экстремума функции. Если дифференцируемая функция f(x) имеет в точке x₀ экстремум, то её производная в этой точке равна нулю или не существует.

Точка x₀, в которой производная функции равна нулю или не существует, называется критической. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Достаточное условие экстремума функции. Если при переходе через критическую точку слева направо меняет знак с «+» на «–», то эта точка есть точка максимума функции, а если меняет знак с «–» на «+», то эта точка есть точка минимума функции. Если производная знака не меняет, то экстремума нет.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке x₀ отрезка [a,b], либо на границе отрезка, т.е. при x=a или x=b. Если x₀(a,b), то точку x₀ следует искать среди критических точек данной функции.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на [a,b]:

1) Найти критические точки функции на интервале (a,b).

2) Вычислить значения функции f(x) в найденных критических точках.

3) Вычислить значения функции f(x) на концах отрезка, т.е. в точках x=a и x=b.

4) Среди всех вычисленных значений функции f(x) выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 2.8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [0;3].

Решение. Найдем производную:

.

Отсюда находим критические точки: x₁=2, x₂=4. Однако в заданный интервал попадает только одна точка: x₁=2[0;3]. Далее находим значение функции в найденной критической точке и на границах отрезка:

, , .

Итак, наибольшее значение рассматриваемая функция принимает на левом конце заданного отрезка: y_наиб = y(0) = 4, а наименьшее значение – в точке минимума: y_наим = y(2) = 0.

Говорят, что кривая вогнутая на интервале (a,b), если она лежит выше касательной, проведенной в любой её точке. Говорят, что кривая выпуклая на интервале (a,b), если она лежит ниже касательной, проведенной в любой её точке.

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции. Если на (a,b), то график функции является вогнутым на этом интервале; если на (a,b), то график функции является выпуклым на этом интервале

Точка кривой, отделяющая её выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. При переходе через точку перегиба вторая производная меняет знак.

Асимптотой кривой y=f(x) называется прямая, к которой приближается график функции при неограниченном удалении от начала координат. Различают асимптоты вертикальные, наклонные и горизонтальные.

Прямая x=a называется вертикальной асимптотой кривой y=f(x), если при xa (слева или справа) значение функции стремится к бесконечности, т.е. выполнено одно из следующих условий:

, .

Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой кривой y=f(x), если существуют пределы:

, . (2.6)

Прямая y=b является горизонтальной асимптотой кривой y=f(x), если существует предел:

.

Схема исследования графика функции

I. а) Найти область определения функции.

б) Установить чётность, нечётность, периодичность функции.

в) Определить точки пересечения графика функции с осями координат.

г) Определить интервалы непрерывности функции и найти точки разрыва.

II. Определить интервалы монотонности графика функции и найти точки экстремума.

III. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и найти точки перегиба.

IV. Найти асимптоты графика функции.

V. Построить график функции.

Пример 2.9. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

Решение. I. а) Данная функция имеет смысл при всех значениях x, кроме точки x=1, т.е. область определения данной функции

.

Заметим также, что функция может принимать только неотрицательные значения, т.е. y³0.

б) Данная функция является ни четной, ни нечетной, ни периодической, т.е. это функция общего вида.

в) При x=–1 функция будет равна нулю: y(–1)=0, т.е. график функции пересекает ось Ox в точке A(–1;0). При x=0 функция принимает значение y(0)=1, т.е. график функции пересекает ось Oy в точке B(0; 1).

г) Точка x=1 является точкой разрыва 2-го рода, причем

.

Следовательно, прямая x=1 является вертикальной асимптотой данной функции.

II. Исследуем функцию на экстремум и определим участки ее монотонности. Для этого вычислим производную:

Определим критические точки функции, т.е. точки в которых производная равна нулю или не существует. Это будут точки x₁=–1, x₂=1. Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной на каждом из полученных интервалов. Поскольку при переходе через критическую точку x=–1 производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке имеется минимум: y(–1)=0. В точке x=1 производная также меняет знак, однако в этой точке нет экстремума, т.к. эта точка является точкой разрыва. На интервалах (–¥; –1) и (1;+¥) функция убывает, на интервале (–1; 1) – возрастает.

III. Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость. Для этого вычислим производную второго порядка:

Определим критические точки 2-го порядка, т.е. точки в которых вторая производная равна нулю или не существует. Это будут точки x₁=–2, x₂=1. Нанесем эти точки на числовую ось и определим знак второй производной на каждом из полученных интервалов. Поскольку при переходе через критическую точку x=–2 вторая производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке имеется точка перегиба: y(–2)=1/9, т.е. точка P(1/9,–2). На интервале (–¥; –2) функция выпукла, на интервале (–2; +¥) – вогнута.

IV. Найдем уравнение наклонной асимптоты y=kx+b, где

, .

Таким образом, рассматриваемая функция имеет горизонтальную асимптоту, уравнение которой y=1.

V. Строим график функции. Построение начинаем с изображения асимптот, а также наносим точки экстремума, точки перегиба и точки пересечения с осями координат (см. рис.).