1.3. Непрерывность функции и точки разрыва

Для математического описания непрерывности функции необходимо ввести понятие одностороннего предела.

Число A₊ называется правосторонним пределом функции f(x) при xa, если этот предел существует, когда x стремится к a, оставаясь больше a:

.

Аналогично определяется левосторонний предел функции:

.

Можно доказать, что если правосторонний и левосторонний пределы функции в точке a совпадают, то функция имеет обычный предел в точке a.

Можно дать два эквивалентных определения предела функции.

1. Функция f(x) будет непрерывной в точке a, если: а) она определена в этой точке, б) в этой точке существует предел и б) этот предел совпадает со значением функции в рассматриваемой точке.

Односторонние пределы непрерывной в точке a функции f(x), равные между собой:

.

2. Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если сколь угодно малому приращению аргумента x в точке a соответствует сколь угодно малое приращение функции в этой точке: .

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого множества D, то говорят, что она непрерывна на данном множестве D.

Все элементарные функции непрерывны в области своего определения.

Непрерывные функции – наиболее важный и часто встречающийся класс функций – обладает рядом свойств, с которыми можно ознакомится по приведенной литературе. Отметим, что график непрерывной функции можно нарисовать, не отрывая ручки от бумаги.

Если в точке a нарушаются условия непрерывности функции f(x) , то говорят, что в этой точке имеется разрыв.

Классификация точек разрыва.

Пусть в точке a нарушено условие непрерывности функции f(x).

а) Если в точке a пределы слева и справа совпадают:

,

то это будет точка устранимого разрыва. Этот разрыв можно устранить, переопределив (или доопределив) значение функции в этой точке, равной значению предела.

б) Если в точке a пределы слева и справа существуют, но не совпадают:

,

то это будет точка разрыва 1-го рода. Функция в этой точке испытывает скачок, равный разнице значений пределов слева и справа.

г) Если в точке a предел слева или справа не существует (или равен бесконечности), то это будет точка разрыва 2-го рода.

Пример 1.6. Построить график и определить характер точек разрыва:

Решение. Построим график функции f(x). Из рисунка видно, что исходная функция имеет три точки разрыва: x₁=–2, x₂=1, x₃=3.

Поскольку

, , ,

то в точке x₁=–2 имеется разрыв 2-го рода.

Поскольку

, , f(1)=–1,

то в точке x₂=1 имеется устранимый разрыв. Переопределив значение функции в этой точке: f(1)=5, разрыв устраняется, т.е. функция в этой точке становится непрерывной.

Поскольку

, ,

то в точке x₁=3 имеется разрыв 1-го рода. Функция в этой точке испытывает скачок y=–2–1=–3.

2 . Дифференциальное исчисление

2.1. Производные функции одной переменной

Понятие производной является одной из основным математическом анализе, играющим большую роль и в экономических исследованиях. Поэтому стоит более глубоко ознакомится с этим понятием, например, по литературе, приведенной в конце методических указаний.

Производной функции y=f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится нулю:

. (2.1)

Производная функции имеет несколько обозначений: , , . Иногда в обозначении производной используется индекс, указывающий, по какой переменной взята производная, например, . Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.