4. Ряды

1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости рядов. Свойства сходящихся рядов.

2. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости знакоположительных рядов: признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши, интегральный признак.

3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Теорема Лейбница для знакочередующихся числовых рядов.

4. Функциональные ряды. Область сходимости, методы её определения. Равномерная сходимость. Свойства равномерно сходящихся рядов.

5. Степенные ряды. Терема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.

6. Разложение функций в степенные ряды. Формула Тейлора.

7. Формула Маклорена. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.

8. Применение степенных рядов в приближённых вычислениях.

1. Введение в анализ

1.1. Функции

Функция является основным объектом исследования в математическом анализе. Поэтому рекомендуем более глубоко ознакомиться с этим понятием, например, обратиться к литературе, приведенной в конце методических указаний.

При построении графика воспользуемся следующими правилами. Пусть известен график функции y=f(x), тогда график функции:

1.	y1=f(–x)	есть зеркальное отражение относительно оси Oy,
2.	y2=–f(x)	есть зеркальное отражение относительно оси Ox,
3.	y3=f(x–a)	есть смещение вдоль оси Ox на величину a,
4.	y4=f(x)+b	есть смещение вдоль оси Oy на величину b,
5.	y5=f(ax)	есть сжатие (a>1) или растяжение (a<1) вдоль оси Ox в a раз,
6.	y6=bf(x)	есть растяжение (b>1) или сжатие (b<1) вдоль оси Oy в b раз.

Отметим, что вместо смещения графиков вдоль координатных осей можно смещать сами оси координат, но только в противоположную сторону.

Пример 1.1. Используя элементарные преобразования графиков, построить график функции y = 1–2cos3x.

Решение. График исходной функции можно построить в четыре этапа:

1. строим график синусоиды y₁=cosx;

2. сжимаем график в 3 раза вдоль оси Ox: y₂=cos3x;

3. увеличиваем амплитуду синусоиды в 2 раза и переворачиваем график вокруг оси Ox на 180⁰: y₃=–2cos3x;

4. смещаем график y₃ на 1 ед. вверх или опускаем ось Ox на 1 ед. вниз, в результате получим с графиком исходной функции y.

1.2. Пределы

Понятие предела является одним из фундаментальных понятий математики. Для более глубокого ознакомления с этим понятием мы рекомендуем обратиться к литературе, приведенной в конце методических указаний.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a. Число A называется пределом функции f(x) при xa, если для любого сколь угодно малого >0 существует такое >0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству |x–a|<, имеет место неравенство |f(x)–A|<. Обозначается

.

Аналогичные определения можно дать, когда a или A равны нулю или бесконечности.

Функция (x) называется бесконечно малой в окрестности точки a, если

.

Функция A(x) называется бесконечно большой в окрестности точки a, если

.