16. Теорема о структуре общего решения лнду II-го порядка (с док-вом).

Теорема 1. Общее решение лнду 2-го порядка f(x) (6.1)представляется в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения (6.2)и любого частного решения лнду (6.1).

Доказательство.Докажем сначала, что будет решением уравнения (6.1). Для этого подставим в уравнение (6.1): f(x). Это равенство является тождеством, т.к. и f(x). Следовательно, есть решение уравнения (6.1).

Докажем теперь, что это решение является общим, т.е. можно так выбрать входящие в него произвольные постоянные, что будут удовлетворяться любые начальные условия вида: , (6.3). Согласно теореме о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (лоду) общее решение уравнения (6.2) можно представить в виде , где и – линейно независимые решения этого уравнения. Таким образом: и, следовательно, начальные условия (6.3) можно записать в виде: или (6.4)

Произвольные постоянные и определяются из этой системы линейных алгебраических уравнений однозначно при любых правых частях, т.к. определитель этой системы = есть значение определителя Вронского для линейно независимых решений уравнения (6.2) при , а такой определитель, как мы видели выше, отличен от нуля. Определив постоянные и из системы уравнений (6.4) и подставив их в выражение , мы получим частное решение уравнения (6.1), удовлетворяющее заданным начальным условиям. Теорема доказана.

16. Построение частного решения лнду II-го порядка в случае правой части вида

Пусть в уравнении (6.1) коэффициенты постоянны, т.е. уравнение имеет вид: f(x) (7.1) где .

Рассмотрим метод отыскания частного решения уравнения (7.1) в случае, когда правая часть f(x) имеет специальный вид. Это метод называется методом неопределенных коэффициентов и состоит в подборе частного решения в зависимости от вида правой части f(x). Рассмотрим правые части следующего вида:

1. f(x) , где – многочлен степени , причем некоторые коэффициенты, кроме , могут равняться нулю. Укажем вид, в котором надо брать частное решение в этом случае.

1. Если число не является корнем характеристического уравнения для уравнения (5.1), то частное решение записываем в виде: , где – неопределенные коэффициенты, которые подлежат определению методом неопределенных коэффициентов.

2. Если является корнем кратности соответствующего характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде: , где – неопределенные коэффициенты.

18. f(x) , где и - многочлены степени и соответственно, причем один из этих многочленов может равняться нулю. Укажем вид частного решения в этом общем случае.

А) Если число не является корнем характеристического уравнения для уравнения (5.1), то вид частного решения будет: , (7.2) где – неопределенные коэффициенты, а .

Б) Если число является корнем характеристического уравнения для уравнения (5.1) кратности , то частное решение лнду будет иметь вид: , (7.3) т.е. частное решение вида (7.2) надо умножить на . В выражении (7.3) - многочлены с неопределенными коэффициентами, причем их степень .