Теорема Парсеваля

Интуитивно ясно, что полная энергия сигнала не зависит от выбранного представления. Значения полной энергии, подсчитанные из временного и частотного представлений сигнала совпадают

, , т.е. .

Аналогично для двух сигналов

Эти соотношения составляют содержание теоремы Парсеваля. Из этой теоремы следует инвариантность скалярного произведения и нормы относительно преобразования Фурье:

;

Моменты энергетического спектра

Для диагностики механизмов (систем) используют так называемые моменты энергетического спектра. Начальный момент порядка n энергетического спектра определяется как . Центральный момент порядка n энергетического спектра ,

где – средняя частота процесса.

Второй центральный момент характеризует компактность спектра, третий – его симметрию, четвёртый – островершинность.

Модулированные сигналы и их спектры

При создании систем переработки информации в большинстве случаев оказывается, что спектр исходящего сигнала, подлежащего передаче, сосредоточен не на тех частотах, которые эффективно пропустят имеющийся канал связи. Кроме того, часто необходимо в одном и том же канале передавать несколько сигналов одновременно.

В устройствах связи и в компьютерных сетях широко используется частотный принцип разделения сигналов. В соответствии с этим принципом сигналам отводятся узкие неперекрывающиеся полосы частот из всего диапазона частот, занимаемого системой передачи информации. С помощью узкополосных сигналов легко организовать передачу информации от большого числа источников к большому числу получателей, при этом источники не будут мешать друг другу.

Кроме частотного принципа в связи используется временной принцип разделения сигналов, когда каждому сигналу отводится небольшой промежуток времени из некоторого большого повторяющегося временного интервала, отведенного множеству сообщений. Времен­ной принцип часто используется в телефонии.

Частотный принцип разделения сигналов используется в радио и телевещании, в устройствах мобильной связи, при передаче информа­ции с помощью модемов и т. п. Большинство узкополосных сигналов, располагаясь в области высоких частот системы связи, являются вы­сокочастотными колебаниями. Важное преимущество высокочастотных сигналов состоит в том, что они хорошо излучаются неболь­шими по размеру антенными устройствами и могут распространяться на большие расстояния.

Речевые и музыкальные сигналы, видеосигналы, сигналы, содер­жащие цифровую информацию и т. п., являются относительно низ­кочастотными сигналами. Их спектр занимает диапазон частот, начинающийся вблизи нуля и заканчивающийся некоторой верхней частотой. Например, телефонный речевой сигнал занимает диапазон частот от 300 Гц до 3400 Гц.

Проблема передачи информации, содержащейся во многих низко­частотных сигналах, с помощью множества узкополосных каналов связи с разными частотами решается при использовании модулиро­ванных сигналов. Модулированный сигнал — это узкополосный сиг­нал, параметры которого изменяются пропорционально низкочастот­ному информационному сигналу. Как правило, модулированный сигнал является высокочастотным колебанием. Для получения моду­лированного сигнала используется гармонический сигнал , называемый в этом случае несущим колебанием (несущей частотой). Информация вносится в несущее колебание с использованием модуляции — изменения какого-либо из параметров высокочастотного сигнала пропорционально низкочастотному сигналу s(t). Различают три основных вида модуляции.

(1)

При амплитудной модуляции (АМ) амплитуда сигнала изменяется прямо пропорционально информационному сигналу s(t):

(2)

Здесь — начальное значение амплитуды несущей, — ко­эффициент, зависящий от конструкции амплитудного модулятора. По определению амплитуда гармонического сигнала является положи­тельной величиной и поэтому в модуляторе и должны быть такими, чтобы всегда . В противном случае возникает пере­модуляция. Учитывая (1), сигнал с АМ записываем следующим обра­зом

(3)

Для анализа амплитудной модуляции удобно использовать про­стейшее сообщение — гармонический сигнал (рис. 1, а). Формула (2) в этом случае принимает вид

где — коэффициент амплитудной модуляции. Коэф­фициент т — основной параметр АМ-колебаний с гармонической мо­дуляцией. На рис. 1, б, в показаны модулированные сигналы с коэф­фициентами

АМ, равными т = 0,5 и т = 1 соответственно. При стопроцентной амплитудной модуляции (m=1) имеют место макси­мальные изменения амплитуды модулированного сигнала: амплитуда изменяется от нуля до удвоенного значения.

Используя тригонометрическую формулу для произведения коси­нусов, выражение (3) перепишем в виде

(4)

Все три слагаемых в правой части формулы (4) — гармонические колебания. Первое слагаемое представляет собой исходное немодули­рованное колебание (несущую). Второе и третье слагаемые называют, соответственно верхней и нижней боковыми составляющими. Формула (4) дает спектральное разложение АМ-колебания. Амплитудный спектр АМ-сигнала изображен на рис. 2, а. Ширина спектра этого АМ-колебания равна удвоенной частоте модулирующего сигнала.

Если модуляция осуществляется сложным периодическим сигна­лом, в спектре которого содержится много гармоник, то каждая из этих гармоник даст две боковые составляющие в спектре модулиро­ванного сигнала. В спектре появляются верхняя и нижняя боковые полосы (рис. 2, б). Ширина спектра будет определяться модулирую­щей гармоникой с максимально высокой частотой. Аналогичные ре­зультаты получим для сложного непериодического сигнала, используя теорему о спектре сигнала, умноженного на комплексный гармониче­ский сигнал.

Отметим, что обе боковые полосы несут полную информацию о низкочастотном модулирующем сигнале. Поэтому в технике связи часто используются сигналы с одной боковой полосой (ОБП-сигналы). Нужная боковая полоса выделяется с помощью фильтра. Вторая боко­вая полоса (включая иногда и несущую) подавляется. ОБП-сигналы занимают меньшую полосу частот и при прочих равных условиях тре­буют меньшей мощности передатчика.

Фазовая модуляция (ФМ) — это изменение начальной фазы высо­кочастотного сигнала прямо пропорционально низкочастотному сиг­налу:

(5)

где — коэффициент, зависящий от конструкции фазового моду­лятора, — начальная фаза. На практике наиболее часто использу­ется модуляция с большими отклонениями фазы от начального значе­ния.

С учетом (5) полная фаза (аргумент косинуса) при ФМ будет равна . Из анализа этой формулы следует, что ско­рость возрастания полной фазы при ФМ не равна частоте несущей . Понятие частоты при ФМ требует уточнения.

Мгновенной частотой сигнала называют производную . У идеального гармонического сигнала мгновенная частота постоянна: . При ФМ мгновенная частота равна . Из этой формулы следует, что при ФМ в общем случае возникают изменения мгновенной частоты сигнала.

При частотной модуляции (ЧМ) мгновенная частота высокочас­тотного сигнала изменяется прямо пропорционально низкочастотному сигналу:

(6)

где — коэффициент, зависящий от конструкции частотного модуляторе.

График сигнала с ЧМ при гармоническом модулирующем сигнале приведен на рис. 3, б. Амплитуда сигнала с частотной модуляцией не изменяется. Увеличение уровня модулирующего сигнала вызывает увеличение мгновенной частоты сигнала. На рис. 3, б этому соответ­ствует увеличение числа максимумов и минимумов колебания на фик­сированном временном отрезке. При уменьшении мгновенной часто­ты сигнала увеличивается период квазигармонического сигнала.

Отметим, что график на рис. 3, б будет соответствовать сигналу с фазовой модуляцией. При ФМ амплитуда сигнала также не изменя­ется, а при гармонической ФМ возникает гармоническая ЧМ. Кривая на рис. 3, а в этом случае соответствует производной от модулирую­щего сигнала.

Второе слагаемое в формуле (6), содержащее сигнал s(t), как пра­вило, много меньше частоты несущей . Только в этом случае мо­дулированный сигнал будет относительно узкополосным и не будет "мешать" другим модулированным сигналам.

При частотной модуляции полная фаза сигнала определяется по формуле

Как видим, при ЧМ в общем случае изменяется начальная фаза сигнала. Выше отмечалось, что при ФМ имеются изменения мгновен­ной частоты. Поэтому ФМ и ЧМ — два тесно связанных друг с дру­гом вида модуляции — относят к угловой модуляции (УМ). Так как при модуляции высокочастотный сигнал близок к идеальному гармо­ническому сигналу, то модулированный сигнал называют также ква­зигармоническим сигналом.

Модулированный сигнал с фазовой модуляцией записывается сле­дующим образом

(7)

(8)

Если в формуле (7) сигнал , то

где — индекс фазовой модуляции. Индекс фазовой модуля­ции в (8) — основной показатель сигнала с гармонической фазовой модуляцией. В системах связи, как правило, используются модулиро­ванные сигналы с большими значениями индекса фазовой модуляции: .

Используя введенное выше понятие мгновенной частоты, модули­рованный сигнал с частотной модуляцией запишем в виде

(9)

Если для модуляции используется простейший сигнал , то мгновенная частота , где — девиация частоты, равная максимальному отклоне­нию мгновенной частоты от . Девиация частоты — основ­ной показатель сигнала с гармонической ЧМ. Формула (9) при гармо­нической частотной модуляции имеет вид

(10)

Из анализа формулы (10) следует, что при гармонической ЧМ воз­никает гармоническая ФМ с индексом .

Для определения спектра сигнала с гармонической УМ используем формулу (8) для сигнала с ФМ. Выражение (10) также можно было бы использовать для расчета спектра сигнала с угловой модуляцией. Как известно, синус в (10) можно заменить косинусом с дополнительной начальной фазой, равной - 90°.

(11)

Для простоты при расчете спектра сигнала с угловой модуляцией начальную фазу в (8) примем равной нулю. Используя тригономет­рическое соотношение для косинуса суммы двух углов, формулу (8) перепишем в виде

(12)

В теории бессолевых функций доказывается, что

где — бесселева функция первого рода n-го порядка

.

Графики первых восьми функций Бесселя показаны на рис. 4.

Подставляя (12) в (11) и учитывая формулы для произведений тригонометрических функций, получим

(13)

Следовательно, при фазовой модуляции спектр колебания содержит несущую и бесконечное число гармонических составляющих, расположенных симметрично относительно несущей частоты (рис. 5). При использовании формулы (10) спектр ЧМ-сигнала будет отличать­ся от спектра ФМ-сигнала только начальными фазами отдельных спектральных компонент.

Амплитуда несущей и амплитуды боковых составляющих в спек­тре сигнала с угловой модуляцией определяются функциями Бесселя. Если индекс угловой модуляции , то и . Дру­гие функции Бесселя будут пренебрежимо малы. В этом случае в формуле (13) учитываются только несущая и две боковые гармоники и спектр колебания с угловой модуляцией похож на спектр сигнала с АМ. Ширина спектра сигнала при примерно равна (рис. 5).

Если индекс , то дополнительные боковые составляющие об­разуют верхнюю и нижнюю боковые полосы. Причем амплитуда не­сущей уменьшается, а при и т. п. эта амплитуда равна нулю. В этом случае вся энергия модулированного сигнала сосредо­точена в боковых составляющих. Амплитудный спектр колебания с УМ при , равном примерно 2,4 и 5, приведен на рис. 5. Из анализа этих спектров и графиков рис. 4 следует, что ширина спектра сигнала с интенсивной угловой модуляцией при примерно равна удвоенной девиации частоты .

Отметим, что использование угловой модуляции с большим ин­дексом позволяет получить увеличенную помехоустойчивость при передаче сложных сообщений. Сигналы с угловой модуляцией мень­ше подвержены влиянию импульсных помех, возникающих в про­мышленных электроустановках, при грозах, в транспортных средствах с электрическим питанием и т. п. Поэтому фазовая и частотная моду­ляции в настоящее время широко используются в радиовещании, в космической связи, в устройствах сотовой связи и в других системах передачи информации с малыми искажениями.

Для увеличения скорости передачи сообщений в современных сис­темах связи и передачи информации используются смешанные виды модуляции. Например, в модемах используется амплитудно-фазовая или квадратурная модуляции. При такой модуляции изменяется как амплитуда, так и начальная фаза (и частота) квазигармонического сигнала.