17 Вопрос

Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из   независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна  .

Определение

Пусть   — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

Построим случайную величину  : .

Тогда  , число единиц (успехов) в последовательности  , имеет биномиальный закон с   степенями свободы и вероятностью «успеха»  . Пишем:  . Её функция вероятности задаётся формулой:

где   — биномиальный коэффициент.

Геометри́ческое распределе́ние в теории вероятностей — распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».

Пусть   — бесконечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

Построим случайную величину   — количество «неудач» до первого «успеха». Распределение случайной величины   называется геометрическим с вероятностью «успеха»  , что обозначается следующим образом:  .

Функция вероятности случайной величины   имеет вид:

Замечание

• Иногда полагают по определению, что   — номер первого «успеха». Тогда функция вероятности принимает форму  . В этом случае все формулы из таблицы справа должны быть модифицированы очевидным образом.

• Функция вероятности является геометрической прогрессией, откуда и происходит название распределения.

Моменты

Производящая функция моментов геометрического распределения имеет вид:

,

откуда , .

Свойства геометрического распределения

• Из всех дискретных распределений с фиксированным средним   геометрическое распределение   является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.

• Если   независимы и  , то

.

• Геометрическое распределение бесконечно делимо.

Гипергеометри́ческое распределе́ние в теории вероятностей моделирует количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности.

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина x , принимающая значения на отрезке [a, b], распределена равномерно на [a, b], если ее плотность распределения p_x (x) и функция распределения F_x (x) имеют соответственно вид:

    ,  .

Нормальное распределение

Нормальное распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей и математической статистике.

Случайная величина x нормально распределена с параметрами a и s , s >0, если ее плотность распределения p_x (x ) и функция распределения F_x (x) имеют соответственно вид:

,  , Mx = a, Dx = s ²_.

Часто используемая запись x ~ N(a, s ) означает, что случайная величина x имеет нормальное распределение с параметрами a и s .

Говорят, что случайная величина x имеет стандартное нормальное распределение, если a = 0 и s = 1 (x ~ N(0, 1)). Плотность и функция распределения стандартного нормального распределения имеют вид:

,  , Mx = 0, Dx = 1.

Здесь   - функция Лапласа.

Функция распределения нормальной величины x ~ N(a, s ) выражается через функцию Лапласа следующим образом:  .

Если x ~ N(a, s ), то случайную величину h = (x-a)/s называют стандартизованной илинормированной случайной величиной; h ~ N(0, 1) - имеет стандартное нормальное распределение.

 

ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

непрерывное распределение вероятностей случайной величины X, задаваемое плотностью 

 (1)

Плотность р(х).зависит от положительного масштабного параметра l. Формула для моментов:  , в частности - для математич. ожидания   и дисперсии  ; характеристич. функция: (1-it/l)^-1.

П. р. входит в семейство распределений, называемых гамма-распределениями и задаваемых плотностью 

n-кратная свертка распределения (1) равна гамма-распределению с тем же самым параметром lи с a=п. П. р.- единственное распределение, обладающее свойством отсутствия последействия: для любых х>0, у>0 выполняется равенство 

 (2)

где Р{ Х>х+у|Х>у} - условная вероятность события X>x+y при условии X>y. Свойство (2) называется также марковским свойством.