84. Контурные линейные фильтры (клф). Временной и частотный подходы.
При использовании методов контурной обработки и распознавания изображений часто приходится использовать алгоритмы фильтрации. Для КЛФ также как и для любых линейных систем возможно использование временного и частотного подхода к анализу определения отклика фильтра на входное воздействие.
В
ременной
подход. При временном подходе полагаем,
что задан контур изображения в виде
комплексного кода:
.
Фильтр задан в виде контура
,
который представляет собой импульсную
характеристику, то есть отклик фильтра
на дельтовидный контур. Дельтовидный
контур введен в контурном анализе как
аналог
-импульса,
используемого в РТ, имеющего равномерный
спектр. Считается, что
-контур
также как и
-импульс
имеет равномерный спектр кроме постоянной
составляющей, которая равна нулю,
вследствие замкнутости контура. Обратное
преобразование Фурье от спектра
,
показанного на рисунке а, дает контур
(1), с компонентами
,…,
(2), где
.
Этот контур показан на рисунке б и
называется
-контуром.
Свертка двух векторных контуров
и
определяется по формуле:
,
где
,
.
Эта свертка представляет собой скалярное произведение двух векторных контуров и рассматривается как реакция (отклик) контурного фильтра на входной сигнал.
Частотный
подход. При частотном подходе при
фильтрации контуров контур задается
своим спектром
.
Под спектром в контурном анализе понимают
совокупность компонент, вычисляемых
по формулам преобразования Фурье, то
есть спектральная компонента равна:
.
В
этом случае компоненты контура при
известном спектре
вычисляются с помощью обратного
преобразования Фурье, то есть:
.
В приведенных формулах компоненты:
(6) образуют контур:
,
где
.
Этот
контур представляет собой правильный
-угольник
и является аналогом синусоиды в обычном
спектральном анализе. Длина каждой
стороны прямоугольника равна 1
(многоугольника) и многоугольник
называется элементарным единичным
контуром. Таким образом, величина
может рассматриваться как амплитуда
элементарного контура и является
аналогом амплитуды синусоиды в обычном
спектральном анализе. С учетом
представленных понятий для контуров,
частотный подход к фильтрации состоит
в следующем: каждая компонента
,
представляющая собой амплитуду
элементарного контура, являющейся
аналогом амплитуд синусоид, умножается
на соответствующие значения коэффициента
передачи
(
)
и выходной отклик фильтра будет:
.
Результат
(8) представляет собой новый скорректированный
фильтр – замкнутый контур, образованный
как сумма элементарных контуров
,
взятых с весом
.
Весовой множитель
представляет собой спектр нового,
преобразованного фильтром, контура.
Например, в случае идеального фильтра
НЧ новый произвольный контур со спектром
преобразуется в контур:
.
В этой формуле считается, что
для всех
.
Аналогично для идеального фильтра ВЧ
отклик фильтра будет определяться
соотношением:
при
для всех
.
Приведенные результаты показывают полную идентичность подходов к вопросу фильтрации сигналов в линейных системах и в контурной обработке.