30

61. Физические системы и их математические модели: системные операторы, стационарные и нестационарные системы, линейные системы.

Системные операторы. Система – совокупность физ. объектов, между которыми существуют опред. взаимодействия. В структуре системы можно выделить вход, на который подается исходный сигнал, и выход, откуда снимается преобразованный сигнал. В наиболее простом случае как входной сигнал , так и выходной сигнал , называемый также откликом или выходной реакцией системы, описываются одиночными функциями времени. В более общем случае вх. сигнал представляется в виде т-мерного вектора

, а выходной сигнал – в виде п-мерного вектора

.

Закон связи между сигналами и задают системным оператором Т, результатом возд-я которого на сигнал служит сигнал :

. (1)

Чтобы полностью определить задачу, следует указать область D_вх некоторого функц. простр-ва, к-ая называется областью допустимых входных воздействий. Задание этой области описывает х-р вх. сигналов, к-ые могут быть непрерывными, дискретными, детерминированными или случайными. Подобным же образом должна быть указана область D_вых допустимых выходных сигналов.

Математической моделью системы наз-ют совокупность сист. оператора Т и двух областей допустимых сигналов D_вх, D_вых.

Стационарные и нестационарные системы. Принято говорить, что система стационарна, если ее выходная реакция не зависит от того, в какой момент времени поступает вх. сигнал. Если Т – оператор стац. системы, то из рав-ва (1) следует, что

при любом значении t₀. Стац. системы наз-ют также системами с постоянными во времени параметрами.

Если же св-ва системы не инвариантны относительно выбора начала отсчета времени, то такую систему наз-ют нестационарной (системой с переменными во времени параметрами или парам. системой).

Оба указанных класса систем широко прим-ся в радиотехнике.

Линейные системы. Важнейший принцип классификации систем основан на том, что разл. системы по-разному ведут себя при подаче на вход суммы нескольких сигналов. Если оператор системы таков, что справедливы рав-ва

(2)

где α – произвольное число, то данная система наз-ся линейной. Условия (2) выражают фундаментальный принцип суперпозиции.

Если эти усл-я не выполняются, то говорят, что система явл-ся нелинейной.

Лин. системы замечательны тем, что, по крайней мере теоретически, можно решить любую задачу о преобразовании вх. сигнала такой системой.

62. Импульсная и переходная характеристики ситемы. Связь между ними. Интеграл дюамеля. Условие физической реализуемости системы.

Импульсная характеристика. Пусть некоторая лин. стац. система описывается оператором Т, а вх. и вых. сигналы одномерны. По определению, импульсной характеристикой системы наз-ся функция h(t), являющаяся откликом системы на вх. сигнал δ(t), т.е. h(t) удовлетворяет уравнению

. (1)

Поскольку система стационарна, то справедливо следующее:

.

Имп. х-ка, так же как и порождающая ее дельта-функция, есть результат разумной идеализации. С физ. т. зр. имп. х-ка приближенно отображает реакцию системы на вх. имп. сигнал произвольной формы с един. площадью при усл-и, что длительность этого сигнала пренебрежимо мала по сравнению с характерным временным масштабом системы, например периодом ее собств. колебаний.

Интеграл Дюамеля. Зная имп. х-ку лин. стац. системы, можно формально решить любую задачу о прохождении детерм. сигнала через такую систему. Действительно, вх. сигнал допускает представление вида

.

Отвечающая ему выходная реакция . (2)

Теперь примем во внимание, что интеграл есть предельное зн-е суммы, поэтому лин. оператор Т на основании принципа суперпозиции может быть внесен под знак интеграла. Далее, Т «действует» лишь на величины, зависящие от текущего времени t, но не от переменной интегрирования τ. Поэтому из выражения (2) следует, что

, или окончательно . (3)

Эта формула называется интегралом Дюамеля (ИД). Она свидетельствует о том, что вых. сигнал лин. стац. системы представляет собой свертку 2-х функций – вх. сигнала и имп. х-ки системы. Очевидно, формула (3) может быть записана также в виде .

Условие физической реализуемости. Вых. сигнал, отвечающий импульсному вх. воздействию, не может возникнуть до момента появления импульса на входе.

Отсюда вытекает очень простое ограничение на вид допустимых импульсных характеристик: .

Легко видеть, что для физически реализуемой системы верхний предел в формуле ИД может быть заменен на текущее значение времени: .

Лиин. стац.система, выполняя обработку поступающего на вход сигнала, проводит опцию взвешенного суммир-я всех его мгн.зн-й, существовавших «в прошлом» при .Физически реализуемая система ни при каких обстоятельствах не способна оперировать «будущими» значениями входного сигнала.

Переходная характеристика. Пусть на входе лин. стац. системы действует сигнал, изоб-мый ф-цией Хевисаида σ(t). Выходную реакцию принято называть переходной характеристикой системы. Поскольку система стационарна, переходная характеристика инвариантна относительного временного сдвига:

.

Переход. х-ка физ-ки реал-мой системы отлична от нуля лишь при , в то время как при t<0.

Между имп. и перех. х-ками имеется тесная связь. Действительно, т.к. , то на основании (1)

.

Оператор диффер-ния d/dt и линейный оператор Т могут меняться местами, поэтому

или .

Еще одна форма ИД: .