16. Основные определения и понятия в теории преобразования лапласа.

Ранее было показано, что для анализа периодических процессов и сигналов удобно использовать ряды Фурье. Для непериодических (нестационарных или переходных) процессов используется метод анализа с помощью интеграла Фурье. Однако метод интеграла Фурье применим только к функциям удовлетворяющим условию . (1)

Кроме того, предъявляется требование, чтобы функция f(t) была определена на всей оси времени . Чтобы обобщить преобразование Фурье на более широкий класс функций прибегают к следующему приему: опустим, что функция f(t) равная нулю при t<0 не удовлетворяет условию (1). Чтобы условие (1) выполнялось вместо функции f(t) в интеграле Фурье подставляют функцию . (2)

При этом для большинства физически реализуемых сигналов затухающий экспоненциальный сомножитель всегда можно подобрать таким образом , что условие (1) будет выполнено. Применяя к функции формулу прямого преобразования Фурье, запишем: .

Для функции справедливо и обратное преобразование Фурье: .

Из последнего выражения находим, что (5)

Введя подстановку ; два последних равенства запишем в виде:

(6), (7)

Полученные интегралы называют прямым (6) и обратным преобразованием (7) Лапласа. f(t) - оригинал, а F(p) - изображение функции f(t). - комплексная частота или оператор. Метод анализа цепей и сигналов с помощью преобразований Лапласа называют операционным исчислением. Из формул (6) и (7) следует: . (8)

Примеры изображений функций

а) Пусть функция f(t) имеет вид единичного скачка (единичный скачок называют также функцией включения) (рис.), т.е. . Тогда . Таким образом

Б ) Найдем изображение экспоненциального сигнала ,

Или с использованием понятия функции включения .

Изображение функции: .

в) В математике и радиотехнике часто используется для анализа сигналов понятие ДФ. Понятие ДФ можно определить как производную единичного скачка. Поскольку функция 1(t) является первообразной функции , то . Положение единичного скачка на оси времени может соответствовать любому моменту времени , поэтому для произвольного момента времени обобщают понятия единичного скачка и -функции и записывают и .

Изображение по Лапласу для -функции имеет вид

В настоящее время для многих физически реализуемых функций составлены таблицы соответствия оригиналов и изображений, что позволяет легко рассчитывать переходные процессы в электрических цепях.