6. Геометрические методы в теории сигналов.

Для описания сложных сигналов в современной радиотехнике часто используются некоторые понятия линейной алгебры и аналитической геометрии. Одним из таких понятий является понятие линейного пространства сигналов. Пусть, например, - некоторое множество сигналов. Причиной объединения сигналов в некоторое множество М служит наличие у них некоторых общих свойств. Например, множество М может состоять из совокупности гармонических колебаний вида:

которые могут отличаться своими амплитудами, частотами и начальными фазами. Для того, чтобы пространство сигналов было линейным оно должно соответствовать следующим условиям (аксиомам):

1. Любой сигнал при любых t принимает только вещественные значения.

2. Для двух любых сигналов и существует сумма, удовлетворяющая условиям

,

а для трех сигналов

3. Для любого сигнала и любого вещественного числа  определен сигнал

4. Множество M содержит особый нулевой элемент, такой, что для всех .

Если все рассмотренные в данном разделе сигналы представляют собой комплексные величины, а также допустить в аксиоме 3 возможность умножения на комплексное число, то придем к понятию комплексного линейного пространства, которое также используется в современной радиотехнике для описания реальных сигналов. В обоих случаях любая совокупность рассмотренных сигналов может трактоваться также как некоторый многомерный вектор.

7. Понятие координатного базиса линейного пространства.

Как и обычное трехмерное пространство линейное многомерное пространство может быть характеризировано системой координат. При этом каждая из координат характеризуется своим вектором (ортом) единичной длины. Совокупность векторов (ортов), принадлежащих множеству M, составляет линейно независимый координатный базис. Условием существования его является равенство: (4.1.), которое возможно только в том случае, если равны нулю все коэффициенты _i. Обычно, если дано разложение сигнала S(t) в форме: (4.2.), то коэффициент c_i являются проекциями сигнала S(t) на оси координат, заданные выбранным базисом. Если число элементов координат базиса неограниченно велико, то такие линейные пространства называются бесконечными.

Нормированные линейные пространства. Энергия сигнала.

Для многомерного вектора линейного пространства аналогом длины в математике является норма. Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому вектору однозначно соответствует число //S//, называемое нормой вектора и при этом выполняются аксиомы нормированного линейного пространства:

1.норма - //S//>0 и //S//=0, если S(t)=0; 2.для любого , //S//=//////S//(4.3); 3.если S(t) и p(t) два вектора из пространства L, то выполняется неравенство треугольника (4.4.)

Норма сигнала может задаваться различными способами. В РТ чаще всего принимают в качестве нормы вещественного сигнала . Причем в качестве нормы принимают положительную величину корня. Если сигналы комплексные, то в качестве нормы принимается величина: (4.6.). S^* - величина, комплексно-сопряженная с S.

(4.7.) – энергия сигнала. Если S(t) – напряжение, В или ток, А, то такая энергия будет выделяться на резисторе с сопротивлением, равным 1 Ом.

Метрическое пространство.

Линейное пространство называется метрическим, если каждой паре элементов (U,V)L соответствует некоторое отрицательное число (U,V), называется метрикой или расстоянием между этими элементами.

Метрика может задаваться разными способами. Независимо от способа задания метрики она должна подчиняться аксиомам метрического пространства:

1.(U,V)= (V,U) – рефлективность метрики; 2.(U,U)=0 при любых UL; 3.каким бы ни был элемент L всегда .

Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов: (4.8.)

Понятие метрики позволяет судить о близости двух сигналов.