27. Алгоритмы дискретного преобразования фурье.

Сигнал Х(t) и его спектр связаны парой преобразований Фурье. Спектр определяется прямым преобразованием Фурье: , а сигнал обратным: .

Пара Преобразований Фурье для дискретного сигнала имеет вид:

, ,

где W_N периодическая функция с периодом N равная .

Если принять период дискретизации Т за единицу Т=1, то получим компактную запись:

, .

В ДПФ интегралы заменены знаками сумм, временная функция x(t) представлена конечной последовательностью отсчётов по времени {x(n)}, 0nN-1 спектральная плотность Х() представлена совокупностью отсчётов по частотной оси. Число отсчётов функции x(t) и Х() совпадает. Сравнение структуры выражений (18.12) и (18.13) показывает, что их вычисление может быть выполнено с помощью одного алгоритма, требуется только перестановка данных и замена переменных.

Рассмотрим простейший пример ДПФ. Допустим имеем сигнал, описанный четырьмя отсчётами (N=4): x(0), x(1), x(2), x(3).

Для рассматриваемого примера . Тогда после подстановки значений x(n), W(K) получаем:

К=0; W⁰=1;

K=1;

K=2; (18.22)

K=3;

Описанная последовательность расчёта может быть представлена в виде следующего графа:

Н а графе обозначение (стрелка) означает умножение величины а на .

Обозначение может означать: суммирование - если через кружок движение осуществляется по прямой (см.рис.18.4а)) или до кружка вниз после кружка вверх; вычитание - если до кружка вверх, после кружка вниз.

Таким образом, действуя чисто формально совершенно не трудно получить любой из результатов, показанных на рис.18.3 б.

Таким образом базовая операция алгоритма с прореживанием по времени (так называемая "бабочка" см.рис.18.4 б ) состоит в том, что два входных числа А и В объединяются для получения двух входных чисел по правилу, показанному на рис.18.4 б.

29. Согласованная фильтрация комплекснозначных сигналов.

В теории оптимального приема и обнаружения сигналов на фоне помех, что максимальное отношение сигнал-шум на выходе фильтра обеспечивается согласованным фильтром (или оптимальным фильтром). Согласованной называют фильтрацию, при которой коэффициент передачи фильтра согласован со спектром сигнала, а именно показано, что если сигнал имеет спектр S(j), то комплексный коэффициент передачи фильтра с точностью до постоянного множителя с должен повторять форму спектра: . При этом импульсная характеристика, которая, как известно, связана с коэффициентом передачи преобразованием Фурье, должна повторять форму сигнала U_C(t) в зеркальном виде: .

Эти положения практически без изменений м. б. перенесены на контурные фильтры. Т.о., если снова представить контурный фильтр для сигнала заданным в виде: , и использовать алгоритм фильтрации (29.1), то получим: (29.1) и можно показать, что импульсная характеристика N должна повторять вид входного контура Г, взятого в обратном направлении отсчета, т.е. зеркально и смещенного на число отсчетов, равное числу элементов в контуре. Кроме того, в связи с комплексным характером сигналов (n), описывающих контур, вычисление отклика фильтра (скалярного произведения Г и N) должно осуществляться с комплексно сопряженными элементами исходного контура, т.е. элементы: и тогда отклик контурного согласованного фильтра по (29.1):

(29.2)

Наибольший отклик фильтра имеет место при m=k-1 и равен: (29.3)

Т.е. контурный фильтр при подаче на него сигнала, с которым он согласован, воспроизводит на своем выходе квадрат нормы этого сигнала, имеющий смысл энергии сигнала. Аналогичный результат получается и при согласованной фильтрации обычных сигналов.