21. Операторный метод анализа систем. Пример анализа интегрирующей rc-цепи операторным методом при воздействии скачка и прямоугольного импульса.

Операторный метод анализа систем базируется на представлении входных и выходных сигналов их преобразованиями Лапласа.

Решение дифференциальных уравнений операторным методом. Преобразование Лапласа явл-ся исключительно гибким и мощным методом, позволяющим путем стандартных процедур находить решения линейных диф. уравнений с постоянными коэффициентами. Именно это свойство обусловило его широкое применение в научных исследованиях и инженерных расчетах.

Пусть диф. уравнение

устанавливает закон соответствия между сигналами на входе и выходе некоторой линейной стационарной системы. Примем, что область допустимых входных сигналов не содержит в себе функций, столь быстро нарастающих во времени, что для них не существует преобразования Лапласа.

Обозначим закон соответствия между оригиналами и изображениями следующим образом:

. Вычислив преобразование Лапласа от обоих частей уравнения, получим:

Важнейшей характеристикой, на которой основан операторный метод, является отношение изображений выходного и входного сигналов: , называемое передаточной функцией или операторным коэффициентом передачи рассматриваемой системы.

Если эта функция известна, то поиск выходной реакции системы на заданное входное воздействие разбивается на три этапа:

Функция есть результат аналитического продолжения частотного коэффициента передачи с мнимой оси на всю плоскость комплексных частот . Функция аналитична на всей плоскости p, за исключением конечного числа точек , являющихся корнями знаменателя в формуле К(р). Данные точки называют полюсами передаточной функции К(р).

При практическом использовании операторного метода большую часть формальных вычислений можно исключить, обращаясь к широко распространенным таблицам преобразования Лапласа.

Анализ интегрирующей RC-цепи операторным методом при воздействии скачка.

Интегрирующая RC-цепи показана на рисунке. Здесь , поэтому . Разлагая эту функцию на эдементарные дроби, имеем . Оригиналы соответствующие обоим слагаемым в правой части формулы хорошо известны. Искомый результат имеет вид

Анализ интегрирующей RC-цепи операторным методом при воздействии прямоугольного импульса.

Пусть задана длительность T и амплитуда U₀. Тогда входной сигнал имеет изображение . Множитель exp(-pT) свидетельствует о сдвиге во времени на величину T. Поэтому, используя результат предыдущей задачи можно записать . Для наглядности последнюю формулу целесообразно представить так:

22. Разновидности частотно-избирательных цепей и их частотные характеристики: последовательный и параллельный связный контуры.

Частотно-избирательные цепи пропускают на вход лишь колебания с частотами, которые лежат в относительно узкой полосе вокруг некоторой центральной частоты. Частотная фильтрация полезного сигнала особенно эффективна в том случае, если обрабатываемый сигнал в достаточной степени узкополосен.

П оследовательный колебательный контур. Для него частотные свойства могут быть описаны его входной проводимостью . На резонансной частоте проводимость контура чисто активная и равна . Величину называют характеристическим сопротивлением контура. Частотно избирательные свойства и полоса пропускания контура зависят от ее добротности . Входное реактивное сопротивление вблизи резонансной частоты будет Полное входное сопротивление контура , где . Величины и называют, соответственно, абсолютной и обобщенной расстройкой. Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) контура называют величину . Величину называют фазочастотной характеристикой контура. Полоса пропускания контура находится из соотношений: , где - нормированное значение проводимости. На границах полосы мощность сигнала в контуре уменьшается вдвое.