3. Аналитическая геометрия

3.1. Уравнение прямой

Общим уравнением прямой называется уравнение

, (3.1)

полученное из уравнения

. (3.2)

Геометрический смысл общего уравнения прямой заключается в том, что оно описывает прямую, проходящую через точку перпендикулярно вектору , который называется нормальным вектором прямой

Каноническим уравнением прямой называется уравнение

. (3.3)

Геометрический смысл канонического уравнения прямой заключается в том, что оно описывает прямую, проходящую через точку параллельно вектору , который называется направляющим вектором прямой:

Уравнением прямой с угловым коэффициентом называется уравнение

, (3.4)

или

. (3.5)

Геометрический смысл коэффициента k – это тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox, т.е. k=tg, b – это отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy.

Пример 3.1. Определить при каких значениях a и b две прямые

(a–1)x–2y–1=0 и 6x–4y+b=0

а) пересекаются; б) параллельны; в) совпадают.

Решение. Две прямые L₁: и L₂: параллельны, если

.

В частности, прямые совпадают, если

.

В случае

,

прямые пересекаются. В нашем случае, из условия

находим, что две прямые совпадают, если a=4 и b=-2. Две прямые параллельные, если a=4 и b-2. Если a4 при любом значении b, то прямые пересекаются.

Пример 3.2. Определить при каком значении параметра t прямая

а) параллельна оси абсцисс; б) параллельна оси ординат; в) проходит через начало координат.

Решение. Прямая параллельна оси абсцисс, если A=0; параллельна оси ординат, если B=0; проходит через начало координат, если C=0.

В нашем случае, если , т.е. при и , прямые будут параллельны оси абсцисс: и .

Если , т.е. при , то прямая пройдёт параллельно оси ординат: .

Прямая будет проходить через начало координат, если , т.е. при : .

Пример 3.3. Заданы точка M(–1;2) и прямая L: –2x+y–1=0. Написать уравнения прямых L₁ и L₂, проходящих через точку M и L₁||L и L₂L.

y L2 M o L L1 x

Решение. Сделаем чертеж. Чтобы построить прямую, достаточно знать две ее точки. Очевидно, что A(0;1), B(1;3)L. Через найденные точки проводим прямую. Прямая L задана общим уравнением прямой, тогда ее нормальный вектор имеет координаты n={–2;1}. Поскольку L₁||L  L₁n, то вектор n будет нормальным вектором также и для прямой L₁. Тогда используя формула (3.2), получим

–2(x+1)+(y–2)=0,

или

L₁: –2x+y–4=0.

Поскольку L₂L  L₂||n, то вектор n будет направляющим вектором L₂. Тогда используя формулу (3.3), получим

,

или

L₂: x+2y–3=0.

Пример 3.4. Найти координаты точки М, лежащей на одной прямой с точками A(–1;1) и B(1;5), если абсцисса и ордината этой точки равны между собой.

Решение. Найдем уравнение прямой (АВ), воспользовавшись формулой прямой, проходящей через две точки:

.

Разделив последнее уравнение на 2, получим

(AB): 2x–y+3=0.

Пусть исходная точка имеет координаты M(a;a). Так как она принадлежит прямой (AB), то ее координаты должны удовлетворять уравнению:

2a–a+3=0  a=–3.

Таким образом, искомая точка имеет координаты М(–3;–3).

Пример 3.5.. Из точки M(3;2) выходит луч света под углом  = arctg2 к оси Ox. Найти уравнения падающего и отраженного лучей.

y L2 L1   K x

Решение. Найдем уравнение падающего луча. Эта прямая L₁ проходит через точку M с угловым коэффициентом

k₁ = tg = 2.

Тогда используя уравнение (3.5), получим

y–2 = 2(x–3),

или

L₁: 2x–y–4=0.

Это есть уравнение падающего луча. Чтобы составить уравнение отраженного луча L₂, нужно знать координаты точки отражения K и угловой коэффициент k₂. Координаты точки отражения K можно найти как точку пересечения прямой L₁ и оси Ox:



т.е. K(2;0). Угловой коэффициент k₂ найдем из того условия, что «угол падения равен углу отражения». Тогда очевидно, что ₂ = 180⁰–. Отсюда

k₂ = tg₂ = tg(180⁰– = –tg = –2.

Теперь известны все параметры, чтобы записать уравнение отраженного луча:

y = –2(x–2),

или

L₂: 2x+y–4=0.