3. Теорема о базисном миноре

Строки A = (a₁,...,a_n), B = (b₁,...,b_n), C = (c₁,...,c_n) называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа , , , не все равные нулю, что справедливо равенство: A+B+C=0. Но если данное равенство выполняется только тогда, когда все числа , ,  равны нулю, то строки называются линейно независимыми. Если строки А, В, С линейно зависимы, то, по крайней мере, одну из них можно записать в виде линейной комбинации остальных строк. Пусть , то A=B+C, где =–, –. Все сказанное относится и к столбцам.

Пусть дана матрица А ранга r. По определению ранга эта матрица содержит отличный от нуля минор порядка r. Всякий такой минор называется базисным. Строки и столбцы матрицы, на пересечении которых расположены элементы выбранного базисного минора, называются базисными строками и столбцами.

Теорема 4.1 (о базисном миноре). Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов); сами базисные строки (столбцы) линейно независимы.

Пример 4.4. Рассмотрим матрицу

Выберем ненулевой минор 2-го порядка

Теперь найдем миноры 3-го порядка, окаймляющие минор M₂:

Следовательно, данная матрица имеет ранг RgA=2, а минор M₂ будет базисным. Тогда 1-я и 2-я строки:

и 1-й и 2-й столбы:

будут базисными. В соответствии с теоремой о базисном миноре все остальные строки и столбцы будут линейной комбинацией базисных строк и столбцов. Например, 3-ю строку

можно представить в виде линейной комбинации базисных строк следующим образом: А₃ = А₁–А₂. 

Следствием теоремы о базисном миноре является

Теорема 4.2. Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Например, рассмотрим определитель

Поскольку этот определитель равен нулю. То строки этого определителя должны быть линейно зависимы. Действительно, можно составить линейную комбинацию строк, равную нулю: А₁–2А₂+А₃=0. 

Дополнение 1 к главе 4. Обращение элементарных матриц

Элементарные матрицы всех трех типов являются невырожденными. Элементарные матрицы второго и третьего типов не вырождены, поскольку они имеют треугольный вид. Элементарная матрица первого типа не вырождена, т.к. при разложении определителя элементарной матрицы первого типа по любой строке (столбцу) образуется определитель единичной матрицы с ненулевым коэффициентом. Разложим, например, определитель матрицы P₂₃ по 1-й строке:

Вопросы для самопроверки

1. Что такое минор k-го порядка? Базисный минор? Сколько может существовать базисных миноров? Что такое ранг матрицы?

2. Что такое ранг матрицы? Опишите все матрицы нулевого ранга? первого ранга?

3. Какие операции называются линейными? Как складываются матрицы? Как матрица умножается на число?

Упражнения и задачи

1. Выполнить следующие действия:

а) ; б) .