B) Метод элементарных преобразований

Обычно ранг матрицы и ее базисный минор находятся при помощи элементарных преобразований. Этот метод основан на следующей теореме:

Теорема 4.2. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

 Напомним, что элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции: 1⁰. Перестановка двух строк (или столбцов); 2⁰. Умножение строки (или столбца) на число, не равное нулю; 3⁰. прибавление к одной строке (столбцу) матрицы её другой строки (столбца) умноженной на какое-либо число.

Рассмотрим последовательно все типы элементарных преобразований матрицы. Элементарные преобразования первого типа меняют строки столбцы матрицы. В этом случае определитель меняет знак, но не может обратиться в нуль.

Элементарные преобразования второго типа умножают строку или столбец на число, не равное нулю. Но тогда определитель матрицы умножится на это число, что не может привести к его обнулению.

Элементарные преобразования третьего типа приводят к прибавлению к i-й строке (столбцу) матрицы её j-й строки (столбца), умноженной на какое-либо число. Это преобразование не меняет величины определителя.

Таким образом, при элементарных преобразованиях определители либо сохраняются, либо изменяют свою величину, не обращаясь при этом в нуль.

Согласно определению ранга достаточно установить, что всякому базисному минору исходной матрицы соответствует базисный минор того же порядка преобразованной матрицы. Поскольку элементарные преобразования обратимы, то достаточно доказать, что ранг матрицы при элементарных преобразованиях не увеличивается, а для этого нужно показать, что произвольный минор преобразованной матрицы равен нулю, если его порядок l превышает ранг r исходной матрицы A.

При перестановке двух строк или столбцов в матрице A возможны три случая.

а) Элементы обеих переставляемых строк (или столбцов) входят в минор . Тогда перестановка соответствующих строк в миноре изменяет его знак, но превращает его в минор M матрицы A порядка l>r. Следовательно, .

б) Элементы обеих переставляемых строк (или столбцов) не входят в минор . Тогда минор является минором матрицы A порядка l>r. Следовательно, .

в) Одна из строк (или столбцов) входит в минор , а другая не входит. Минор представляет собой определитель, составленный из строк и столбцов матрицы A. Этот определитель, вообще говоря, не является минором матрицы A из-за нарушения порядка строк (или столбцов). Восстановив естественный порядок строк (или столбцов), мы получим минор матрицы A порядка l>r, который совпадает с M или отличается от него знаком. Следовательно,

При умножении строки (или столбца) матрицы A на число k0 возможны два случая.

а) Элементы i-й строки (или столбца) не входят в минор . Тогда минор является минором M матрицы A и равен нулю, т.к. l>r.

б) Элементы i-й строки (или столбца) входят в минор . Тогда, в соответствии со свойствами определителей, , где M – минор матрицы A, который равен нулю, т.к. его порядок больше r.

При прибавлении к i-й строки (или столбца) матрицы A её k-й строки (или столбца), умноженной на число k0, возможны три случая.

а) Элементы обеих строк (или столбцов) входят в минор . Тогда, согласно свойству 4 определителей, минор можно представить в виде

,

где – минор матрицы A порядка l>r, а определитель равен нулю как определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца).

б) Элементы обеих строк (или столбцов) не входят в минор . Тогда минор является минором матрицы A и равен нулю, т.к. l>r.

в) Элементы i-й строки (или столбца) входят в минор , а элементы k-й строки (столбца) не входят. Тогда, согласно свойству 4 определителей, минор можно представить в виде

,

где – минор матрицы A порядка l>r, а определитель равен нулю как определитель, который, возможно, отличается от минора матрицы A порядка l>r следованием строк (или столбцов).

Итак, элементарные преобразования строк матрицы A не увеличивают её ранг. Ясно, что ранг матрицы не может и понизится, т.к. в противном случае при обратном элементарном преобразовании он бы повысился. Следовательно, ранг матрицы при элементарном преобразовании сохраняется.

Наконец, при последовательно выполнении элементарных преобразований матрицы A её ранг не меняется, поскольку он сохраняется на каждом шаге при выполнении конкретного элементарного преобразования. 

Справедливость данной теоремы вытекает из того факта, что определитель, если он не равен нулю, ни при каких элементарных преобразованиях матрицы не станет равным нулю. Исходя из этой теоремы, матрицу можно привести при помощи элементарных преобразований к диагональному виду, при этом ранг матрицы не изменится. Тогда число ненулевых элементов на диагонали равно рангу матрицы. Отметим также, что при вычеркивании нулевой строки или столбца ранг матрицы не изменится.

Пример 4.3. Найти ранг матрицы при помощи элементарных преобразований:

Решение.

