2. Методы нахождения ранга матрицы a) Метод окаймляющих миноров

Минор M' матрицы A называют окаймляющим для минора M, если он получается из последнего добавлением одной новой строки и одного нового столбца матрицы A. Ясно, что порядок окаймляющего минора M' на единицу больше, чем порядок минора M'.

Метод окаймляющих миноров позволяет найти один из базисных миноров и состоит в следующем. Пусть в матрице А найден минор М_k k-го порядка, не равный нулю. Рассмотрим лишь те миноры (k+1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М_k. Если все они равны нулю, то будут равны нулю и все остальные миноры (k+1)-го порядка. Более того, будут равны нулю все миноры более высоких порядков. Тогда М_k будет базисным, следовательно ранг матрицы А будет равен k: RgA=k. Если хотя бы один из окаймляющих миноров не равен нулю, то процедуру следует повторить, но уже с минором (k+1)-го порядка, не равного нулю. Этот метод основан на следующей теореме.

Теорема 4.1. Если для некоторого минора матрицы все окаймляющие его миноры равны нулю, то он является базисным.

 Не ограничивая общности доказательства теоремы, предположим, что минор M порядка r матрицы отличен от нуля, расположен в верхнем левом углу матрицы A и все его окаймляющие миноры равны нулю. Докажем, что любая i-я строка матрицы A, r<im, будет линейной комбинацией первых r строк матрицы.

Рассмотрим минор

,

полученный добавлением к минору M элементов i-й строки и j-го столбца матрицы A. Он равен нулю при любых значениях i=r+1,…,m и j=1,…,n. Если jr, то =0, поскольку этот определитель содержит два одинаковых столбца. Если же j>r, то =0, т.к. в этом случае  является окаймляющим для минора M (по предположению теоремы). Итак, =0.

Фиксируем для i любое из значений r+1,…,m. Раскладывая определитель  по последнему столбцу, получаем равенство

,

в котором через , …, обозначены алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя. Отметим, что эти алгебраические дополнения не зависят от номера j, т.е. от того, элементы какого из столбцов матрицы A взяты в качестве последнего столбца определителя . Кроме того, . Поэтому из последнего равенства следует, что для всех j=1,…,n

,

где коэффициенты (k=1,…,r) не зависят от j, а это означает, что i-я строка матрицы A является линейной комбинацией первых r её строк.

В соответствии с теоремой 2.2 о равенстве нулю определителя, любой минор r+1 или большего порядка будет равен нулю, поскольку будет содержать хотя бы одну строку, являющуюся линейной комбинацией других строк. Это означает, что минор M будет базисным в исходной матрице, а ранг матрицы равен r. 

Пример 4.2. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:

.

Решение. Фиксируем какой-либо минор 2-го порядка, не равного нулю. Например, минор, элементы которого находятся на пересечении 1-й и 2-й строк и 2-го и 3-го столбца:

Рассмотрим миноры 3-го порядка, окаймляющих М₂:

Поскольку все они равны нулю, то минор М₂ будет одним из базисных миноров исходной матрицы, её ранг будет равен двум: RgA=2. 

Недостаток метода окаймляющих миноров состоит в том, что приходится перебирать различные миноры, а это может быть связано с большими вычислениями, если размеры матрицы не очень малы. Однако у этого метода есть и свои достоинства. Во-первых, при нахождении ранга определяется один из базисных миноров. Во-вторых, данный метод позволяет производить исследование ранга матрицы, в зависимости от имеющихся параметров.