7

Глава 4. РАНГ МАТРИЦЫ

4. Ранг матрицы

   1. Определение ранга матрицы

Понятие ранга матрицы является одним из фундаментальных понятий линейной алгебры. Рассмотрим матрицу размерности (mn):

.

Если в этой матрице выделить произвольно k столбцов и k строк, то элементы, стоящие на пересечении выделенных столбцов и строк, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель такой матрицы называется минором k-го порядка матрицы A.

Минором M_k k-го порядка матрицы А называется определитель, который составлен из элементов этой матрицы, лежащими на пересечении произвольно выбранных k строк и k столбцов с сохранением порядка этих строк и столбцов.

Если хотят выделить, какие именно строки и столбцы входят в минор, то его обозначают

,

где i₁, i₂, …, i_k – номера выделенных строк, а j₁, j₂, …, j_k – номера выделенных столбцов.

Замечание. Не путать рассматриваемые миноры, определяемые для матриц, с дополнительными минорами, определяемые для определителей.).

Очевидно, что матрица A_mn обладает минорами порядка от 1 (это сами элементы матрицы) до наименьшего из чисел m и n, причём миноров различных порядков может быть несколько. Например, у матрицы

12 миноров первого порядка, 18 миноров второго порядка и 4 минора третьего порядка. Всего миноров k-го для матрицы размерности (mn) определяется числом

.

Ясно, что среди всех отличных от нуля миноров матрицы A найдётся, по крайней мере, один минор, порядок которого будет наибольшим. Такие миноры называются базисными.

В матрице А минор порядка r называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры большего порядка равны нулю или вообще не существуют.

Ясно, что в матрице может быть несколько базисных миноров. Все базисные миноры имеют один и тот же порядок.

Рангом матрицы А называется порядок базисного минора, другими словами, рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Обозначать ранг матрицы А будем символом RgA или r(A). Отметим, что матрицам с нулевым рангом соответствуют нулевые матрицы. Очевидно, что

.

Пример 4.1. Найти ранг матрицы

Решение. Для данной матрицы . Чтобы проверить, может ли ранг быть равным 2, вычислим все миноры 2-го порядка, которые можно образовать из матрицы вычеркиванием одного столбца:

т.е. все они равны нулю. Следовательно, ранг матрицы не может быть больше 1. Поскольку есть миноры 1-го порядка (это сами элементы матрицы), не равные нулю, то RgA=1. 

Упражнение. Определите ранги и все базисные миноры следующих матриц:

Если квадратная матрица порядка n невырождена, то её ранг равен её порядку n: ненулевым является единственный минор максимального порядка n, совпадающий с определителем матрицы.

Если квадратная матрица вырождена, то её ранг меньше её порядка: единственный минор максимального порядка, равного порядку матрицы, является нулевым, и в этом случае ненулевые миноры имеют меньший порядок.

Поиск ранга матрицы большого порядка перебором всевозможных миноров является довольно трудоёмкой задачей. Поэтому нужен какой-то алгоритм, позволяющий упорядочить нахождение ранга. Имеются достаточно эффективные методы определения ранга матрицы.