Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение обратной матрицы. Для каких матриц можно ввести понятие обратной матрицы? Сколько может существовать обратных матриц. Обратимы ли прямоугольные матрицы?
2. Сформулируйте и докажите теоремы замещения и аннулирования.
3.
Доказать, что если матрица B,
обратная существует, то detA0,
detB0,
/
4.
Найти определитель матрицы A,
если известно, что
.
Зависит ли он от порядка матрицы A?
Приведите пример матрицы второго
порядка, удовлетворяющей указанному
равенству.
5.
Какой порядок имеет невырожденная
матрица, если она удовлетворяет условию
.
6.
Доказать, что если A
– квадратная матрица и
,
то матрица A
имеет обратную. Найти обратную для A
матрицу.
7. Как изменится обратная матрица A–1, если в матрице A:
а) переставить i-ю и j-ю строки (столбцы);
б) i-ю строку (столбец) умножить на число k0;
в) к i-й строке (столбцу) прибавить j-ю строку (столбец), умноженный на число k.
8. Показать, что:
а) матрица, обратная к неособенной симметрической, будет симметрической;
б) матрица, обратная к неособенной кососимметрической, будет кососимметрической.
9. Описать и обосновать способ вычисления обратной матрицы A–1, использующий элементарные преобразования строк матриц A и E.
10. Пусть A – ортогональная матрица. Тогда сумма квадратов элементов её строки равна 1, а сумма попарных произведений соответствующих элементов двух различных строк равна 0. являются ли эти свойства определяющими?
11. Найти матрицу X из матричного уравнения:
а)
;
б)
.
Упражнения и задачи
1. При каких следующие матрицы существуют:
а)
;
б)
;
в)
.
2. Методом присоединённой матрицы найти обратные матрицы для следующих матриц:
а)
;
б)
;
в)
,
г)
,
д)
,
е)
.
3. Методом элементарных преобразований найти обратные матрицы для следующих матриц:
а)
;
б)
;
в)
,
г)
,
д)
;
е)
;
ж)
.
4. Решить матричные уравнения:
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
.
5. Вычислить значение функции f(x) при x=A:
а)
,
б)
,
в)
.