B) Свойства обратной матрицы

Свойство 1. Если квадратная матрица A имеет обратную, то .

 Действительно, . 

Свойство 2. .

 Умножим обе части равенства слева на A^–1:

.

Слева стоит произведение матрицы A^–1 на обратную ей , которое равно единичной матрице, справа – произведение обратной матрицы на исходную, также равное единичной матрице. Следовательно равенство верно. 

Свойство 3. Если квадратные матрицы A и B порядка n имеют обратные, то их произведение также имеет обратную матрицу, причём .

 В соответствии с определением обратной матрицы достаточно доказать два равенства:

, .

Используя ассоциативность умножения матриц, получаем

,

,

что и требовалось доказать. 

Следствие. Произведение любого числа обратимых матриц есть обратимая матрица.

Свойство 4. Если матрица A порядка n имеет обратную, то и транспонированная матрица A^T имеет обратную матрицу, причём .

 Нужно убедиться, что и . Используя свойство умножения матриц относительно операции транспонирования, имеем

,

. 

2. Методы нахождения обратной матрицы a) Метод присоединенной матрицы Общая схема нахождения обратной матрицы (метод присоединенной матрицы):

1) Вычисляем определитель заданной матрицы, если он равен нулю, то обратной матрицы не существует.

2) Вычисляем все алгебраические дополнения матрицы.

3) Составляем т.н. союзную матрицу, вместо элементов матрицы ставим их алгебраические дополнения:

4) Составляем присоединенную матрицу, т.е. транспонируем союзную матрицу:

5) Записываем обратную матрицу, для этого каждый элемент присоединенной матрицы делим на определитель исходной матрицы:

.

6) Делаем проверку:

.

Пример 3.1. Найти A^–1, если

Решение. 1) detA = –4.

2) Ищем алгебраические дополнения исходной матрицы (не забывать учитывать знаки алгебраических дополнений!):

3) Составляем союзную матрицу:

4) Находим присоединенную матрицу:

5) Записываем обратную матрицу:

6) Делаем проверку: AA^–1 = A^–1A = E:

Следовательно, обратная матрица найдена правильно. 

Пример 3.2. Найти обратную матрицу

Решение. Поскольку

и A₁₁ = d, A₁₂ = –c, A₂₁ = –b, A₂₂ = a, то

(3.10)

Эту формулу можно использовать для нахождения обратных матриц второго порядка. 

B) Метод элементарных преобразований

В главе 1 мы привели теорему, согласно которой любую невырожденную матрицу A путём умножения на матрицы элементарных преобразований E₁, E₂, …, E_k может быть сведена к единичной, т.е. найдутся такие элементарные матрицы E₁, E₂, …, E_k, последовательное умножение которых на матрицу A слева преобразует исходную матрицу A в единичную:

. (3.11)

Доказательство этой теоремы см. дополнение 1.

Умножим обе части равенства (3.9) на матрицу A^–1 справа. Тогда

.

После преобразования получим

. (3.12)

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 3.5. Если какая-либо цепочка строчечных элементарных преобразований переводит квадратную матрицу A в единичную матрицу E, то матрица A обратима и эта же цепочка преобразований переводит матрицу E в матрицу A^–1.

Равенство (3.12) лежит в основе ещё одного способа построения обратной матрицы. Пусть A – невырожденная матрица n-го порядка. Составим новую матрицу, которую назовём расширенной: .

Пусть единичная матрица E имеет также порядок n. Будем последовательно совершать с расширенной матрицей элементарные преобразования строк, что равносильно умножению этой матрицы слева на матрицы элементарных преобразований E₁, E₂,…, E_k. Получим

.

Подставив (3.9) и (3.10) в полученную расширенную матрицу, будем иметь

.

Таким образом, если путём элементарных преобразований с расширенной матрицей слева от черты получить единичную матрицу, то справа образуется обратная матрица. Данный метод вычисления обратных матриц удобен при вычислении достаточно простых матриц, или при создании алгоритма для реализации его на ЭВМ.

Пример 3.3. Найти обратную матрицу методом элементарных преобразований:

Решение. Образуем расширенную матрицу, приписав справа к матрице А единичную матрицу Е. После этого произведем элементарные преобразования строк:

Следовательно,

