Урновая схема: выбор без возвращения и без учета порядка

Теорема 3.

Общее количество выборок в схеме выбора   элементов из   без возвращения и без учета порядка определяется формулой

и называется числом сочетаний из   элементов по   элементов.

Доказательство. Заметим, что, согласно следствию 1, из каждой выборки данного состава (состоящей из  элементов) можно образовать   выборок, отличающихся друг от друга только порядком элементов.

То есть число выборок, различающихся еще и порядком, в   раз больше, чем число выборок, различающихся только составом. Поделив   на  , получим утверждение теоремы.

Урновая схема: выбор с возвращением и с учетом порядка

Теорема 4.

Общее количество выборок в схеме выбора   элементов из   с возвращением и с учетом порядка определяется формулой

Доказательство. Первый шарик можно выбрать   способами. При каждом из этих способов второй шарик можно выбрать также   способами, и так   раз.

Урновая схема: выбор с возвращением и без учета порядка

Теорема 5.

Общее количество выборок в схеме выбора   элементов из   с возвращением и без учета порядка определяется формулой

4. Теорема сложения вероятностей.

Рассмотрим теоремы, позволяющие вычислить вероятность появления события А или В в результате одного испытания, т.е. вероятность суммы этих событий А+В. Возможны два случая: события совместны и несовместны.

 Теорема1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказательство:

Число всех исходов N, число исходов благоприятствующих событию  А- К, событию В- L. Так как А и В несовместны, то ни  один из этих исходов не может благоприятствовать А и В одновременно, т.е. А и В взаимно исключающие, следовательно число благоприятствующих исходов для события А+В равно К+L. Тогда вероятность равна

  

 Теорема2: Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Доказательство:

Всего исходов N, благоприятствующих событию А- К, событию В- L, совместному появлению А и В- М. Следовательно, благоприятных исходов для события А+В : K+L-M. Откуда вероятность события А+В:

  

4. Сумма и произведение совместных событий и их геометрическая интерпретация.

 Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении или события А или события В или их вместе.

 

хотя бы одно из событий А или В. С=А+В Геометрическая интерпретация

 u – множество исходов некоторого опыта.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в одновременном появлении события А и В. С=А*В

Разностью событий А и В называется событие С, состоящее в появлении события А и не появлении события В С=А\В .

Два случайных события называются противоположными, если одно из них происходит в том и только в том случае, когда не происходит другое.  . А+ =U A* =V –невозможно. 

4. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей.

Теорема умножения вероятностей.

Теорема 2.3 (теорема умножения). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

р (АВ) = р (А) · р (В/А). (2.6)

Доказательство.

Воспользуемся обозначениями теоремы 2.1. Тогда для вычисления р(В/А) множеством возможных исходов нужно считать т_А (так как А произошло), а множеством благоприятных исходов – те, при которых произошли и А, и В ( т_АВ ). Следовательно,

откуда следует утверждение теоремы.

Следствие. Если подобным образом вычислить вероятность события ВА, совпадающего с событием АВ, то получим, что р (ВА) = р (В) · р (А/В). Следовательно,

р (А) · р (В/А) = р (В) · р (А/В). (2.7)

Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности В, то есть р (В/А) = р (В).

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий, в противном случае события называют зависимыми.

Если событие В не зависит от А, то и А не зависит от В. Действительно, из (2.7) следует при этом, что р (А) · р (В) = р (В) · р (А/В), откуда р (А/В) = р (А). Значит, свойство независимости событий взаимно.

Теорема умножения для независимых событий имеет вид:

р (АВ) = р (А) · р (В) , (2.8)

то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероят-ностей.

При решении задач теоремы сложения и умножения обычно применяются вместе.