26. Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины и её свойства.

.Плотностью совместного распределения вероятностей (двумерной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называется смешанная частная производная 2-го порядка от функции распределения:

. (8.2)

Замечание. Двумерная плотность вероятности представляет собой предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Δх и Δу к площади этого прямоугольника при

Свойства двумерной плотности вероятности.

1. f(x, y) ≥ 0 (см. предыдущее замечание: вероятность попадания точки в прямоуголь-ник неотрицательна, площадь этого прямоугольника положительна, следовательно, предел их отношения неотрицателен).

2. (cледует из определения двумерной плотности вероятно-сти).

3. (поскольку это вероятность того, что точка попадет на плос-кость Оху, то есть достоверного события).

Вероятность попадания случайной точки в произвольную область.

Пусть в плоскости Оху задана произвольная область D. Найдем вероятность того, что точка, координаты которой представляют собой систему двух случайных величин (двумерную случайную величину) с плотностью распределения f(x, y), попадет в область D. Разобьем эту область прямыми, параллельными осям координат, на прямоугольники со сторонами Δх и Δу. Вероятность попадания в каждый такой прямоугольник равна , где - координаты точки, принадлежащей прямоугольнику. Тогда вероятность попадания точки в область D есть предел интегральной суммы , то есть

(8.3)

Отыскание плотностей вероятности составляющих

двумерной случайной величины.

Выше было сказано, как найти функцию распределения каждой составляющей, зная двумерную функцию распределения. Тогда по определению плотности распределения

(8.4)

Аналогично находится (8.4′)

27. Зависимость и независимость двух случайных величин. Числовые характеристики двумерной с.В. Математическое ожидание и дисперсия.

Распределения соответствующих компонент в одной и другой таблицах одинаковы. Однако очевидно, что эти таблицы описывают абсолютно различные распределения двумерного случайного вектора   (все значения   в одной таблице отличны от соответствующих значений   в другой таблице).

Таким образом, на поставленный выше вопрос можно дать следующий ответ: «Зная законы распределения отдельных случайных величин X и Y, входящих в систему, найти закон распределения всей системы в общем случае нельзя».

Заметим, что это можно сделать только в одном частном случае, когда случайные величины X и Y, образующие систему, независимы.

Определение. Две случайные величины X и Y называются независимыми, если независимы все связанные с ними события.

Например,   и  ;   и   и т.д.

Замечание. Так как зависимость и независимость событий всегда взаимны (если событие A не зависит от события B, то и событие B не зависит от события A), поэтому зависимость и независимость случайных величин также всегда взаимны: если случайная величина X не зависит от случайной величины Y, то Y не зависит от X.

В терминах законов распределения независимость случайных величин можно определить так: «Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая».

Если компоненты X и Y двумерного вектора   независимы, то функция распределения   выражается, через функции распределения отдельных компонент:

.

Верно и обратное утверждение. Это правило является необходимым и достаточным условием независимости для случайных величин любого типа.

Необходимые и достаточные условия независимости компонент X и Y для дискретного и непрерывного случаев:

1.    X и Y являются независимыми дискретными случайными величинами тогда и только тогда, когда для всех значений индексов i и j выполняется

.

2.    X и Y являются независимыми непрерывными случайными величинами тогда и только тогда, когда

.

Отметим, что допускается нарушение последнего равенства на множестве точек  , имеющих двумерную площадь, равную нулю.

Ответ: компоненты X и Y независимы.

Замечание. В данном случае независимость компонент X и Y можно было установить, внимательно посмотрев на исходную таблицу, задающую закон распределения случайного вектора  . Из этой таблицы видно, что закон распределения каждой из компонент не зависит от того, какое значение приняла другая компонента.

Числовые характеристики двумерных случайных величин.

Def: математическим ожиданием составляющей   двумерной дискретной случайной величины  называют число:

Математическим ожиданием составляющей   двумерной дискретной случайной величины  называют число:

Def: математическим ожиданием составляющей   непрерывной двумерной случайной величины  называют число:

, где 

В результате получим:

Математическим ожиданием составляющей   непрерывной двумерной случайной величины  называют число:

Def: дисперсией составляющей   двумерной дискретной случайной величины называют число:

Дисперсией составляющей   двумерной дискретной случайной величины называют число:

Def: дисперсией составляющей   двумерной непрерывной случайной величины  называют число:

 

дисперсией составляющей   двумерной непрерывной случайной величины  называют число:

Корни квадратные из дисперсии называют средними квадратичными отклонениями составляющих:

Корреляционный момент (ковариация).