
- •Способы задания множеств. Отношения между множествами. Операции над множествами.
- •Символы математической логики.
- •Необходимое и достаточное условия. Доказательство методом «от противного». Правило построения отрицания.
- •Типы отображений. Обратимость отображения.
- •Числовые множества. Окрестности и их свойства.
- •Дать определения: а)числовой последовательности; б) ограниченной числовой последовательности; в) предела числовой последовательности. Дать геометрическую интерпретацию этих определений.
- •Сформулировать и доказать свойства сходящейся последовательности (единственность предела, ограниченность)
- •Сформулировать и доказать свойства последовательностей, связанные с неравенствами
- •10. Сформулировать и доказать теорему о пределе «зажатой» последовательности
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
- •Признак сходимости монотонной последовательности
- •18. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •22. Конечный предел функции при . Геометрическая иллюстрация. Горизонтальные асимптоты.
- •24. Свойства функций, имеющих конечный предел (единственность, ограниченность, сохранение знака функцией)
- •30. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, теорема об их связи. Теорема о связи функции со своим пределом. Некоторые свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- •31. Первый замечательный предел
- •33. Эквивалентные функции. Определение. Свойства. Критерий эквивалентности функций. Главная часть функции
- •34. Применение эквивалентных функций к вычислению пределов. Теоремы 3 и 4
- •35. Асимптоты графика функции.
- •38. Два определения функции, непрерывной в точке. Доказательство их эквивалентности.
- •39. Точки разрыва функции и их классификация
- •44.Теорема об ограниченности непрерывной на отрезке функции
- •46. Теорема о непрерывности обратной функции
- •47. Определение и геометрическая интерпретация равномерной непрерывности. Теорема Кантора.
- •48. Определение производной функции в точке. Односторонние производные. Примеры функций, не имеющих производных в точке.
- •49. Механический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой.
- •50. Определение функции, дифференцируемой в точке. Теоремы о связи дифференцируемости и производной, дифференцируемости и непрерывности.
- •51. Вывод формул производных суммы, произведения и частного функций
- •52. Теорема о производной сложной функции.
- •53. Теорема о производной обратной функции.
- •54. Дифференцированные функции, заданных параметрически и неявно.
- •55. Определение дифференциала, его геометрический смысл. Теория об эквивалентности дифференциала и приращения функции и ее применение к приближенным вычислениям.
- •56. Определение производных и дифференциалов высших порядков. Примеры. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически, от неявных функций.
- •58. Теорема Ферма
- •59. Теорема Ролля и её геометрический смысл
- •60. Теорема Лагранжа о конечных приращениях и геометрический смысл.
- •61. Теорема Коши.
- •62. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0 и ∞/∞
- •63. Формула Тейлора с остатком в форме Пеано
- •64. Единственность формулы Тейлора
- •65. Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа
- •66. Теорема о необходимых и достаточных условиях возрастания и убывания дифференцируемой функции.
- •67. Необходимое условие существования экстремума.
- •68. Первое достаточное условие существования экстремума.
- •69. Второе достаточное условие существования экстремума.
- •70. Наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке.
- •71. Определение выпуклой и вогнутой функции. Достаточный признак выпуклости и вогнутости.
- •72. Определение точки перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба.
- •73. 1 И 2 достаточные признаки точки перегиба.
30. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, теорема об их связи. Теорема о связи функции со своим пределом. Некоторые свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Если
при
предел функции
,
то
она называется ббф при
.
f(x)
– ббф при
Если
при
предел
функции
,
то
она называется бмф при
.
f(x) – бмф
при
.
Теорема
о связи ббф и бмф) Если функция
– бмф при
и
,
то функция
является ббф при
.
Верно и обратное. Доказательство:
Аналогично соответствующему свойству
для бм и бб последовательностей.
Теорема
о
связи функции, её предела и бм) Предел
f(x)
при
равен А тттк
бм при
функция
такая,
что
,
что
.
Доказательство: дословно повторяет
аналогичное доказательство для
последовательности.
31. Первый замечательный предел
Доказательство:
Рассмотрим
окружность единичного радиуса с центром
в начале координат. Обозначим
.
Пусть
,
тогда длина BA=x
(дуги),
пусть
,
и
– площади
,
сектора
AOB
и
.
;
;
Поскольку
фигура AOB
лежит
в секторе ACB,
а
сектор лежит в
,
то
.
;
Поскольку
в I
четверти
sin
x>0,
то
;
.
По теореме о зажатой функции
;
;
.
Поскольку функция
является
чётной, то когда
все последние выкладки также будут
истинными.
32.
Сравнение бесконечно малых функций.
Символы “о-малое” и “О-большое”
Пусть
(х)
и
(х)
-
две
функции, заданные для одних и тех же
значений аргумента и обе являющиеся
бесконечно малыми в точке а.
.
1.
Говорят, что
(х)
является в точке а бесконечно малой
более
высокого порядка,
чем
(х),
если
и
пишут
(читается: «
равно о малому от
»).
Итак, символ
обозначает
любую бесконечно малую в данной точке
а функцию, имеющую в этой точке более
высокий порядок малости, чем бесконечно
малая в той же точке функция
(х).
2.
Говорят, что
(х)
и
(х)
являются в точке а бесконечно малыми
оного порядка
малости, если предел
.
3.
Говорят, что а
(х)
и
(х)
являются в точке а эквивалентными
бесконечно малыми, если предел
равен единице.
Теорема1) Следующие условия являются эквивалентными:
f(x)=o(g(x)) при ;
;
f(x)= *g(x), где
;
Доказательство:
Эквивалентность 1,2 следует из определения.
Докажем эквивалентность 2,3:
)
Т.к.
по
свойству связи между функцией, её
пределом и бм, найдётся
такая,
что
=0+
,
;
)
Поделив
равенство на g(x),
получаем,
перейдя к пределу
Определение)
Говорят, что бм
при
имеет k-й
порядок малости по сравнению с бм
,
если
*Для определения ббф существуют аналогичные бмф понятия, но при этом слова «одного порядка малости» заменяют на «одного порядка роста»
33. Эквивалентные функции. Определение. Свойства. Критерий эквивалентности функций. Главная часть функции
Пусть
f(x) и g(x)
определены
в некоторой окрестности (возможно
проколотой) точки а и g(x)
в
этой проколотой окрестности. Опр) Функции
f(x)
и g(x)
называется эквивалентными (асимптотически
равными) при
,
если
.
В этом
случае пишут f(x)
g(x)
при
.
Теор2) Для
того чтобы f(x)
и g(x)
были
эквивалентны при
необходимо
и достаточно, чтобы f(x)=g(x)+o(g(x))
при
.
Доказательство:
)
Пусть f(x)
и g(x)
эквивалентны.
Тогда выполняется
и согласно
теореме о связи функции, её предела и
бм
,
где
при
,
f(x)=g(x)+
(4)
)
Пусть выполняется (4). Тогда
и переходя
к
получаем
формулу
,
что и
доказывает данная теорема.
Сл1) Если
,
то
Сл2) Разность эквивалентных бм есть бы более высокого порядка малости, чем каждая из них. Опр) Если f(x)=g(x)+o(g(x)) при , то g(x) называется главной частью функции f(x) при .