22. Конечный предел функции при . Геометрическая иллюстрация. Горизонтальные асимптоты.
Понятие
предела функции при очень похоже на
понятие предела последовательности и
имеют с ним много общих черт. Запишем
эти определения в символьной форме и
дадим им геометрическую интерпретацию.
;
;
Поскольку
условие
,
что означает, что значения функции лежат
в 1-й полосе точки А, то с геометрической
точки зрения это означает, что, начиная
с некоторого числа M
(по смыслу
достаточно большого), значения функции
отличаются от Ф меньше, чем на
.
Мы видим, что при больших значениях х, график функции f(x) неограниченно приближается к прямой у=А. Такую прямую принято называть горизонтальной асимптотой. Замечание) Вообще говоря, на (- ) (+ ) функции f(x) может иметь разные горизонтальные асимптоты.
23. Бесконечный предел функции в конечной точке. Геометрическая иллюстрация. Вертикальные асимптоты.
Пусть
функция f(x)
определена
в некоторой окрестности точки а, кроме,
может быть, самой точки а. Орп) Говорят,
что функция f(x)
имеет
в точке
бесконечный предел и пишут
,
если
.
Такие
функции называются бесконечно большими
или стремящимися к
.
Если для некоторых значений аргументы,
приближенные к точки а, функция f(x)
принимает
только отрицательные или только
положительные значения, то пишут
;
.
Геометрически определение ббф означает,
что для любого M>0
(по
смыслу достаточно большого) мы можем
подойти к предельной точке а настолько
близко, что значение функции в этих
точках превзойдут выбранное M.
Существование у функции f(x) бесконечного предела в конечной точке а означает, что график функции неограниченно приближается к прямой х=а, а значит эта прямая является вертикальной асимптотой данной функции.
24. Свойства функций, имеющих конечный предел (единственность, ограниченность, сохранение знака функцией)
Свойство1)
(единственность пределов) Если функция
f(x)
в
точке а имеет предел, то он единственный.
Доказательство: Предположим противное,
что функция f(x)
имеет 2 предела:
и
,
но тогда для любой последовательности
{
}:
,
согласно
определению предела функции по Гейне
последовательность значений {f(
должна
стремиться к
и к
(
),
что противоречит единственности предела
сходящейся последовательности.
Свойство2)
(локальная ограниченность) Если функция
f(x)
имеет
предел в точке а, то найдётся такая
окрестность в точке а, в которой функция
ограничена. Доказательство: Пусть
,
тогда
для
,
а значит и для
и
Свойство3) (сохранение знака) Если функция f(x) имеет конечный предел в точке а, отличный от 0, то найдётся такая окрестность точки а, в которой функция f(x) имеет знак своего предела.
25. Теорема о пределе зажатой функции
Если
и существует такая окрестность в точке
а (возможно проколотая), что
,
то
.
Доказательство: Пусть
(*). Т.к.
для некоторого
(**) Аналогично для
(***) В результате мы получаем
;
26. Предел суммы функций
.
Возьмём произвольное
и зафиксируем его.
Выбираем
27. Предел произведения функций
.
Возьмём
произвольное
и зафиксируем его.
Выбираем
Модуль
разности является как угодно малой
величиной. Это означает, что выполнится
свойство
28. Предел частного функций
Если
и
,
то
.
Доказательство: Можно рассматривать
как произведение функций.
.
выполняется
29. Теорема о пределе сложной функции
Если
функция y=f(x)
имеет
в точке а конечный предел в некоторой
проколотой окрестности точки а (
),
а функция g(x)
имеет
в точке b
конечный
предел С, то сложная функция g(f(x))
имеет
в точке а предел С.
Доказательство:
Т.к.
Аналогично,
т.к.
Возьмём
,
,
.
Все члены этой последовательности,
начиная с некоторого номера, попадут
,
где значение
фигурирует
в условии теоремы, тогда для данной
последовательности
все члены
последовательности
,
будут
отличны от b.
В результате мы получаем, что для
