16. Признак сходимости монотонной последовательности

Теор.14) Если последовательность { } монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится и её предел равен sup. . Данная теорема имеет простой геометрический смысл: если на каждом шаге значение элемента увеличивается (или остаётся постоянным) и все члены последовательности ограничены сверху некоторым числом, то рано или поздно мы придём к «пределу» нашего движения.

Теор.15) Если последовательность { } монотонно убывает и ограничена снизу, то она сходится и предел равен inf.

Доказательство: Пусть последовательность { } неубывает и ограничена сверху. Тогда совокупность всех ее элементов является ограниченным сверху числовым множеством и обладает точной верхней гранью, которую мы обозначим через . По определению как одной из верхних граней все элементы удовлетворяют неравенству , а в силу того что эта грань является точной, для любого числа > О найдется хотя бы один элемент последовательности (пусть это будет элемент с номером N, удовлетворяющий неравенству - < . Из этого неравенства и из неубывания последовательности { } вытекает, что любой ее элемент с номером n, большим N, тем более удовлетворяет неравенству, - < а из сопоставления послед­ него неравенства со справедливым для всех номеров n неравенством следует, что любой элемент с номером n, большим N, удовлетворяет неравенствам - < и потому лежит в -окрестности ( – , + ) точки . Это и означает, что число является пределом последовательности .

Совершенно аналогично доказывается, что невозрастающая и ограниченная снизу последовательность, сходится к точной нижней грани множества всех ее элементов.

17. Число e. Второй замечательный предел.

Последовательность , заданная общим членом является монотонно возрастающей и ограниченной сверху, а следовательно она имеет предел. Данный предел обозначают е. Т.о. ; . Это число является основанием натурального логарифма. Данное называние объясняется тем, что решение дифференциального уравнения y’=ky, являющегося математической моделью многих натуральных (естественных) процессов, является функцией. Если выражение при n , то имеет место формула (второй замечательный предел), которая находит широкое применение при раскрытии неопределённостей вида [ ].

18. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Подоследовательность последовательности {Х_n}- это последовательность{Xn_k}, где последовательность {n_k} – это возрастающая последовательность .

Теорема Больцано– Вейерштрасса.из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Свойства

Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

Для всякой подпоследовательности(Xk_n) верно, что⩝n N :k_n>=n.

Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Т е о р е м а  2 (Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности {Х_n }можно выделить подпоследовательность {Xn_k}, сходящуюся к некоторому числу.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как последовательность точек {Х_n } ограничена, то все они принадлежат к некоторому отрезку [a,b], который обозначим через . Разделим  на два равных отрезка и обозначим через   самый правый из  них, содержащий в себе бесконечное число элементов . Один из этих элементов обозначим через . Правее , если есть, то конечное число точек . Разделим  на два равных отрезка и обозначим через  самый правый из них, содержащий в себе бесконечное число элементов . Выберем среди этих элементов один    с номером . Правее , если есть точки , то их конечное число.

Продолжим этот процесс по индукции. В результате получим последовательность вложенных друг в друга отрезков , длины которых , и  подпоследовательность точек нашей последовательности таких, что . При этом правее каждого из отрезков имеется не более чем конечное число элементов .

На основании принципа вложенных отрезков существует точка C, принадлежащая к любому из отрезков . Очевидно, что подпоследовательность {Xn_k} имеет своим пределом C , и

19. Предельные точки. Фундаментальные последовательности.

Пусть дано непустое множество A R. Точка х называется предельной точкой (точкой сгущения) множества А, если в любой её окрестности найдутся точки множества А, отличные от х. Заметим, что в данном случае ничего не говорится о принадлежности точки х множеству А. Критерий предельной точки) Пусть A R является бесконечным. Тогда точка является предельной точной этого множества, если найдётся такая последовательность{Х_n }  , предел которой будет равен этой точке . Опр) Последовательность {Х_n }  называется фундаментальной последовательностью (Коши), если . Критерий Коши) Последовательность сходится тттк она является фундаментальной.

20. Конечный предел функции при x a. Определения по Коши и Гейне. Геометрическая интерпретация. Эквивалентность определений предела функции по Коши и Гейне.

Пусть функция f(x)определена в окрестности точки а, кроме, может быть, самой точки а, и точка а является предельной точкой, т.е. в её окрестности существуют точки из области определения функции, отличные от неё самой.

Предел функции по Гейне) Значение A называется пределом (предельным значением) функции f(x) в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к A.

Предел функции по Коши) Значение A называется пределом (предельным значением) функции f(x) в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов x, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Эквивалентность определения по Гейне и Коши.

Определения пределов по Коши и Гейне эквивалентны. Доказательство: Пусть выполнится определение по Коши, т.е . Поскольку , фигурирующее в данном определении, существует, зафиксируем его. Рассмотрим последовательность , что для . В итоге мы получаем, что . ) Пусть выполняется определение по Гейне, то есть: . Предположим противное . Построим отрицание, это означает, что . Поскольку у нас фигурирует произвольное значение , так выберем целую последовательность, что , . Мы получаем: . Что противоречит условию определения по Гейне

21. Односторонние пределы. Теорема о существовании предела в точке.

, называются соответственно левой и правой окрестностью точки а. Опр) Число А называется пределом слева функции f(x) ( или ), если . Опр) Число А называется пределом справа функции f(x) ( или ), если . Они характеризуют поведение функции справа и слева от точки а, поэтому они называются односторонними пределами. Теор) Функция f(x) имеет в точке а предел А тттк в этой точке она имеет односторонние пределы и они равны А. Доказательство: ) Пусть . Отсюда следует определение односторонних пределов и . и . Возьмём произвольное и зафиксируем. Тогда ;