7. Дать определения: а)числовой последовательности; б) ограниченной числовой последовательности; в) предела числовой последовательности. Дать геометрическую интерпретацию этих определений.

Опр.1) Пусть каждому натуральному числу n N поставлено в соответствие по определенному правилу число . Тогда говорят, что задана последовательность, которая обозначается символами , причём сами числа называются элементами данной последовательности. Обозначается символами { }, , , .

Опр.1’) Числовой последовательностью называется отображение f: . Обычно последовательности задают с помощью формулы, позволяющий вычислить её элемент по номеру n.

Опр.2) Последовательность называется: возрастающей, если ; неубывающей, если ; невозрастающей, если ; убывающей, если . Все данные последовательности монотонны, возрастающая и убывающая – строго монотонны. Существует 2 основных геометрических интерпретации числовых последовательностей:

Опр.3) Числовая последовательность называется: ограниченной сверху, если ; ограниченной снизу, если ; ограниченной, если . Все данные неравенства могут быть заменены на нестрогие.

Опр.4) Число а называется пределом последовательности : (1). Распишем неравенство |

Опр.4’) Число а является пределом последовательности , если

Опр.5) Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся к числу а.

Опр.6) Последовательность, имеющая бесконечный предел или вообще не имеющая предела, называется расходящейся.

8. Сформулировать и доказать свойства сходящейся последовательности (единственность предела, ограниченность)

Теор.1) Любая окрестность предела (конечного или бесконечного) окрестности содержит все члены последовательности, кроме конечного их числа. Доказательство : Согласно определению предела последовательности, , а вне этой окрестности будет находиться конечное число членов последовательности . Понятно, что с уменьшением номер N будет расти. Теор.2(единственность) Сходящаяся последовательность имеет только 1 предел. Доказательство: Предположим противное ( последовательность сходится к числу и ( )) Для определённости будем считать, что < . Согласно свойству Хаусдорфа об отделимости, . Возьмём данное и зафиксируем его, т.к. для любого , а значит и для зафиксированного. Аналогично, . Если выбрать N=max{ }, то для данного . Последнее противоречит условию Хаусдорфа, что и доказывает теорему.

Теор.3(ограниченность) Если последовательность сходится, то она ограничена. Нужно доказать, что если , то , т.к. , а значит и для для . Выберем в качестве числа .

9. Сформулировать и доказать свойства последовательностей, связанные с неравенствами

Теор.4) Пусть , , a<b. Тогда . Доказательство: Т.к. , то по свойству отделимости Хаусдорфа и одновременно с этим и . Зафиксируем данное значение . Т.к. для данного фиксированного . . N=max{ , , .

Теор.5) Если предел , и , то . Доказательство: Предположим противное: a>b. Тогда, согласно теор.4, все члены последовательностей и , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , что противоречит условию теоремы.

Замечание: Если , то отсюда не следует, что .