72. Определение точки перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба.

Точка Г_f (принадлежит графику функции называется точкой перегиба, если она отделана промежутком выпуклости от промежутка вогнутости.

Теорема 6. Пусть является точкой перегиба функции и функции имеет в некоторой окрестности точки вторую производную. Тогда 2-я производная в этой точке = 0.

Доказательство: Предположим противное (в точке ). Но тогда согласно теории 5 (о достаточном признаке выпуклости и вогнутости) функция будет выпуклой или вогнутой. Что противоречит тому, что точка – точка перегиба.

73. 1 И 2 достаточные признаки точки перегиба.

1-е. Если при переходе через точку меняет знак, то – точка перегиба.

Доказательство следует из определения точки перегиба.

2-е. Пусть имеет в точке производную 3-го порядка, отличную от 0. Тогда, если 2-я производная равна 0, а 3-я отличная от 0, то является точкой перегиба.

Доказательство: Разложим функцию по формуле Тейлора в окрестности точка до члена 3-го порядка.

Получим ,

где при , .

в некоторой окрестности точка будет иметь постоянный знак, который имеет значение 3-й производной, а множитель при переходе через точку будет менять свой знак, а значит и y – Y будет менять свой знак, и значит – точка перегиба.•