55. Определение дифференциала, его геометрический смысл. Теория об эквивалентности дифференциала и приращения функции и ее применение к приближенным вычислениям.
Определение.
Величина
,
являющаяся главной частью (при
)
приращения функции, линейной относительно
приращения аргумента, называется
дифференциалом функции
в точке
и
обозначается символом
или
.
Если в каждой точке некоторого промежутка
существует дифференциал, то
.
Заметим, что дифференциал зависит,
во-первых,
от точки Х, а, во-вторых,
от приращения
.
Для функции
для независимых переменных
Тогда
.
Если
отобрать бесконечно малое слагаемое
,
то получаем приближенную формулу
.
Последнее приближенное равенство дает
формулу, позволяющую приближенно
вычислить значение функции с помощью
дифференциалов. Действительно,
откуда
.
Точность последней формулы тем выше,
чем меньше
.
Геометрический
смысл.
Рассмотрим дифференцированную в точке
функцию
,
откуда следует, что дифференциал функции
при достаточно малых приращениях
есть приращение ординаты касательной
к графику функции
График
56. Определение производных и дифференциалов высших порядков. Примеры. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически, от неявных функций.
Пусть y=f(x) такова, что её производная в свою очередь является функцией, которая имеет производную. Тогда существует производная от этой производной (f’(x))’, которая называется 2-1 производной.
57. Дифференциал сложной функции первого и высших порядков. Инвариантность формы первого дифференциала.
Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.
Пусть у=ƒ(u) и u=φ(х) две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию у=ƒ(φ(х)). По теореме о производной сложной функции можно написать
у'х=у'u*u'x.
Умножив обе части этого равенства на dx, поучаем у'хdx=у'u*u'хdx. Но у'хdx=dy и u'хdx=du. Следовательно, последнее равенство можно переписать так:
dy=у'udu.
Сравнивая формулы dy=у'х*dx и dy=у'u•du, видим, что первый дифференциал функции у=ƒ(х) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.
Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.
Формула dy=у'х*dx по внешнему виду совпадает с формулой dy=у'u*du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле х — независимая переменная, следовательно, dx=∆х, во второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, du≠∆u.
С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.
58. Теорема Ферма
Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а, в) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в) значение. Если существует f'(с), то f'(с) = 0.
Доказательство. Пусть, например, f(с) = М – наибольшее значение функции в интервале (а, в) и существует f'(с). По определению производной f'(с)=
.
При любом знаке х
f(c+x)-f(c)≤0,
так как f(с)
– наибольшее значение функции в (а,
в).
Если
х>0,
то
и, следовательно, f'(с)≤0.
Если же х<0,
то
и f'(с)
≥0.
Следовательно, f'(с)=0.
Геометрически теорема означает, что касательная, проведенная к графику функции в точке (с; f(с)), параллельна оси Ох.