
- •Способы задания множеств. Отношения между множествами. Операции над множествами.
- •Символы математической логики.
- •Необходимое и достаточное условия. Доказательство методом «от противного». Правило построения отрицания.
- •Типы отображений. Обратимость отображения.
- •Числовые множества. Окрестности и их свойства.
- •Дать определения: а)числовой последовательности; б) ограниченной числовой последовательности; в) предела числовой последовательности. Дать геометрическую интерпретацию этих определений.
- •Сформулировать и доказать свойства сходящейся последовательности (единственность предела, ограниченность)
- •Сформулировать и доказать свойства последовательностей, связанные с неравенствами
- •10. Сформулировать и доказать теорему о пределе «зажатой» последовательности
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
- •Признак сходимости монотонной последовательности
- •18. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •22. Конечный предел функции при . Геометрическая иллюстрация. Горизонтальные асимптоты.
- •24. Свойства функций, имеющих конечный предел (единственность, ограниченность, сохранение знака функцией)
- •30. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, теорема об их связи. Теорема о связи функции со своим пределом. Некоторые свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- •31. Первый замечательный предел
- •33. Эквивалентные функции. Определение. Свойства. Критерий эквивалентности функций. Главная часть функции
- •34. Применение эквивалентных функций к вычислению пределов. Теоремы 3 и 4
- •35. Асимптоты графика функции.
- •38. Два определения функции, непрерывной в точке. Доказательство их эквивалентности.
- •39. Точки разрыва функции и их классификация
- •44.Теорема об ограниченности непрерывной на отрезке функции
- •46. Теорема о непрерывности обратной функции
- •47. Определение и геометрическая интерпретация равномерной непрерывности. Теорема Кантора.
- •48. Определение производной функции в точке. Односторонние производные. Примеры функций, не имеющих производных в точке.
- •49. Механический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой.
- •50. Определение функции, дифференцируемой в точке. Теоремы о связи дифференцируемости и производной, дифференцируемости и непрерывности.
- •51. Вывод формул производных суммы, произведения и частного функций
- •52. Теорема о производной сложной функции.
- •53. Теорема о производной обратной функции.
- •54. Дифференцированные функции, заданных параметрически и неявно.
- •55. Определение дифференциала, его геометрический смысл. Теория об эквивалентности дифференциала и приращения функции и ее применение к приближенным вычислениям.
- •56. Определение производных и дифференциалов высших порядков. Примеры. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически, от неявных функций.
- •58. Теорема Ферма
- •59. Теорема Ролля и её геометрический смысл
- •60. Теорема Лагранжа о конечных приращениях и геометрический смысл.
- •61. Теорема Коши.
- •62. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0 и ∞/∞
- •63. Формула Тейлора с остатком в форме Пеано
- •64. Единственность формулы Тейлора
- •65. Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа
- •66. Теорема о необходимых и достаточных условиях возрастания и убывания дифференцируемой функции.
- •67. Необходимое условие существования экстремума.
- •68. Первое достаточное условие существования экстремума.
- •69. Второе достаточное условие существования экстремума.
- •70. Наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке.
- •71. Определение выпуклой и вогнутой функции. Достаточный признак выпуклости и вогнутости.
- •72. Определение точки перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба.
- •73. 1 И 2 достаточные признаки точки перегиба.
50. Определение функции, дифференцируемой в точке. Теоремы о связи дифференцируемости и производной, дифференцируемости и непрерывности.
Функция
y=f(x),
определенная на промежутке
,
называется
дифференцируемой в точке
,
если её
приращение
можно представить в виде
,
где
– величина,
порядок малости которой меньше, чем
;
A – нечетное число. Если расписать
приращения, то мы получаем
;
величина f(
)+A(x-
)
есть линейная функция. Т.о. в окрестности
точки
график
дифференцируемой функции мы можем
представить в виде участка прямой,
поэтому дифференцируемые функции также
называются гладкими.
Теор) Для
того, чтобы f(x)
была
дифференцируема в точке
необходимо
и достаточно существование производной
f’
в точке
.
Причем
A=f’(
).
Доказательство:
Пусть f(x)
дифференцируема
в точке
,
т.е.
выполняется соответствие
.
Разделив
последнее на
и перейдя
к пределу, получаем
Пусть в точке
существует
производная. По определению это означает,
что
По теореме о связи функции, её предела
и бм
–бмф
при
Теор) Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке
.
Доказательство: Т.к.
выполняется
.
51. Вывод формул производных суммы, произведения и частного функций
Пусть функции u=u(x) и v=v(x) – две дифференцируемые функции в некотором интервале (a;b).
Производная
суммы (разности) 2 функций равна сумме
(разности) производных этих функций:
.
Доказательство:
обозначим y=
.
По определению
производной и основным теоремам о
пределах получаем:
Производная
произведения: (u*v)’=u’v+uv’.
Доказательство:
Пусть y=uv.
Тогда
Производная
частного
.
Доказательство:
52. Теорема о производной сложной функции.
Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x, а x=g(t) дифференцируема в точке t, то функция y=f(g(t)) дифференцируема в точке t и y'=f '(x)*g'(t);
=
f '(x)*g'(t);
Доказательство:
По определению производной, используя теорему о пределе произведения, имеем
y'=
=
=
*
В силу
непрерывности дифференцируемой функции
при
по
определению непрерывности приращение
y'= = f '(x)*g'(t), где x=g(t);
Теорема доказана.
53. Теорема о производной обратной функции.
Пусть f(x) непрерывна и строго монотонна на [a;b] и пусть в точке из (a;b) существует f '( )≠0, тогда:
Обратная
функция имеет производную в точке
(x=
)
=
;
Доказательство:
Пусть функция строго возрастающая, тогда на [f(a);f(b)] обратная функция строго монотонно возрастающая.
Пусть =f( ), y=f(x), ∆x=x- , ∆y=y- .
Так
как функция непрерывна, то на ∆y0
(следует что и ∆x0)
=
;
Переходя к пределам получаем требуемое
равенство. Теорема доказана.
54. Дифференцированные функции, заданных параметрически и неявно.
Пусть
x
=
(t)
и y
=
с
общей областью определения t
Таблица
Если
нанести все эти точки на плоскость Oxy,
то получим некоторую кривую
.
.
График
График,
заданный уравнением носит название
циклоиды
.
Пусть функция x = (t) является строго монотонной на промежутке T.
Тогда
у этой функции существует обратная t
=
(x).
В результате мы получим сложную функцию
;
y
= w(
)=:
В этом случае говорят, что функция
задана параметрически
.
Теорема
4.
Если функции
и
дифференцируемы при t
= t0tT,
то
дифференцируема в т. x0
=
и производная в этой точке находится
по формуле
=
.
Доказательство:
Так как
=
w(
),
то
=
=
однако
по правилу дифференцирования обратной
функции
.•
Функция
вида y
=
называется заданной неявно уравнением
на F(x,y)
= 0 на I<R,
если F(x,f(x))
= 0
.
Мы
можем найти производную
даже не зная вида функции
Для
этого нужно найти производную
F(x,y)
=0 по правилу дифференцирования сложной
функции, считая
функцией
.
Например,
(x2
+ y3
- 3 x2y2
+ x
+ y)
= 0;
2x +3y2y’- 3*2xy2 – 3x22y*y’ + 1 + y = 0;
Y’ = (2x - 6xy2 + 1)/(3 + 6x2y +1).