50. Определение функции, дифференцируемой в точке. Теоремы о связи дифференцируемости и производной, дифференцируемости и непрерывности.

Функция y=f(x), определенная на промежутке , называется дифференцируемой в точке , если её приращение можно представить в виде , где – величина, порядок малости которой меньше, чем ; A – нечетное число. Если расписать приращения, то мы получаем ; величина f( )+A(x- ) есть линейная функция. Т.о. в окрестности точки график дифференцируемой функции мы можем представить в виде участка прямой, поэтому дифференцируемые функции также называются гладкими.

Теор) Для того, чтобы f(x) была дифференцируема в точке необходимо и достаточно существование производной f’ в точке . Причем A=f’( ). Доказательство: Пусть f(x) дифференцируема в точке , т.е. выполняется соответствие . Разделив последнее на и перейдя к пределу, получаем

Пусть в точке существует производная. По определению это означает, что По теореме о связи функции, её предела и бм –бмф при

Теор) Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке

. Доказательство: Т.к. выполняется .

51. Вывод формул производных суммы, произведения и частного функций

Пусть функции u=u(x) и v=v(x) – две дифференцируемые функции в некотором интервале (a;b).

Производная суммы (разности) 2 функций равна сумме (разности) производных этих функций: . Доказательство: обозначим y= . По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:

Производная произведения: (u*v)’=u’v+uv’. Доказательство: Пусть y=uv. Тогда

Производная частного . Доказательство:

52. Теорема о производной сложной функции.

Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x, а x=g(t) дифференцируема в точке t, то функция y=f(g(t)) дифференцируема в точке t и y'=f '(x)*g'(t);

= f '(x)*g'(t);

Доказательство:

По определению производной, используя теорему о пределе произведения, имеем

y'= = = *

В силу непрерывности дифференцируемой функции при по определению непрерывности приращение

y'= = f '(x)*g'(t), где x=g(t);

Теорема доказана.

53. Теорема о производной обратной функции.

Пусть f(x) непрерывна и строго монотонна на [a;b] и пусть в точке из (a;b) существует f '( )≠0, тогда:

Обратная функция имеет производную в точке

(x= ) = ;

Доказательство:

Пусть функция строго возрастающая, тогда на [f(a);f(b)] обратная функция строго монотонно возрастающая.

Пусть =f( ), y=f(x), ∆x=x- , ∆y=y- .

Так как функция непрерывна, то на ∆y0 (следует что и ∆x0) = ; Переходя к пределам получаем требуемое равенство. Теорема доказана.

54. Дифференцированные функции, заданных параметрически и неявно.

Пусть x = (t) и y = с общей областью определения t Таблица

Если нанести все эти точки на плоскость Oxy, то получим некоторую кривую . . График

График, заданный уравнением носит название циклоиды .

Пусть функция x = (t) является строго монотонной на промежутке T.

Тогда у этой функции существует обратная t = (x). В результате мы получим сложную функцию ; y = w( )=: В этом случае говорят, что функция задана параметрически .

Теорема 4. Если функции и дифференцируемы при t = t₀tT, то дифференцируема в т. x₀ = и производная в этой точке находится по формуле = .

Доказательство: Так как = w( ), то = = однако по правилу дифференцирования обратной функции .•

Функция вида y = называется заданной неявно уравнением на F(x,y) = 0 на I<R, если F(x,f(x)) = 0 .

Мы можем найти производную даже не зная вида функции Для этого нужно найти производную F(x,y) =0 по правилу дифференцирования сложной функции, считая функцией . Например, (x² + y³ - 3 x²y² + x + y) = 0;

2x +3y²y’- 3*2xy² – 3x²2y*y’ + 1 + y = 0;

Y’ = (2x - 6xy² + 1)/(3 + 6x²y +1).