Статистическая проверка гипотез

1. Естественное понятие СГ.

2. Виды СГ.

3. Ошибка первого рода и ошибка второго рода.

4. Критические области.

5. Алгоритм статистической проверки гипотез (Проверка СГ).

1. СГ – утверждение о распределении ГС, соответствующая некоторым представлениям об изучаемом явлении. СГ – это два взаимосвязанных, но противоположных выражений.

Нулевая гипотеза – постулируется отсутствие различий между некоторыми параметрами ГС или отсутствие связи между переменными. Всегда предрешена. Альтернативная гипотеза – постулируется неравенство или различие между параметрами ГС или наличие связи между переменными и предположениями об их характере. Классификации: Односторонние и двусторонние.

2. Простая гипотеза – содержащая одно предположение.

Сложная гипотеза – состоит из конечного или бесконечного числа гипотез.

3. Н₀ считается базовой и справедливой до тех пор, пока не будут найдены убедительные доказательства для её отклонений. Н₁ принимается только в тех случаях, если существуют всякие доказательства в её пользу. При этом Н₀ принимается или не принимается в строгой зависимости от того, с какой Н₁ осуществляется её проверка.

		Выборка
		Н0	Н1
ГС	Н0	+		Ошибка α
	Н1	Ошибка β		+

Ошибка первого рода – ошибочное решение, связанная с неправильным принятием Н₁, в то время как в ГС верна Н₀. Ошибка второго рода - -//- Н₀, --//-- Н₁. Величина альфа α – называется уровнем значимости критерия, по которому проверяется справедливость гипотезы Н₀. Вероятность ошибки первого рода. Вероятность ошибки второго рода – бета β. Зависит от альтернативной гипотезы. Если мы понижаем α, то растет β; если понижаем β, то α понижается – специфика проверки гипотезы. Идеальное решение найти практически невозможно. После выбора критерия всех возможных значений разбивать на два непересекающихся подмножества. Одно из них содержит значение критерия, при которых Н₀ отвергается, другая – при которых она принимается. Критической областью (КО) называют совокупность всех значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Областью принятия нулевой гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых Н₀ принимают.

Основной принцип проверки гипотез: если наблюдаемое значение принадлежит критической области, то Н₀ отвергают и принимают Н₁; если наблюдаемое значение принадлежит области принятия Н₀, то Н₀ считается подтвержденной. Критерий К – одномерная случайная величина, следовательно, критическая область и область принятия гипотезы - это интервал. Критические К точки/границы – точки, отделяющие критическую область от области принятия Н0. Виды КО:

- односторонние (направленные КО)

- левосторонние – КО, определяемая неравенством:

K_H < Kкр

Ккр < 0

- правосторонние – КО, определяемая неравенством:

K_H > Kкр

Ккр > 0

- двусторонние (ненаправленные КО) – определяемые следующими неравенствами:

K_H < K₁

K_H > K₂

K₂ > K₂

|K| > Ккр

Дв. КО определяется, когда Н₁ имеет вид: Н_1: µ ≠ µ₀

П. КО: µ > µ₀.

5. Алгоритм проверки статистических гипотез:

1) формулировка гипотезы Н₀ и Н₁;

2) выбрать уровень значимости альфа;

3) определить объём выборки n;

4) выбрать критерий К для проверки гипотезы Н0;

5) определить КО и области принятия гипотезы;

6) вычислить наблюдаемое значение критерия Кн;

7) принять решение.

Если Кн, вычисленное по выборке, принадлежит КО, то гипотезу Н₀ отвергают. Если Кн принадлежит области принятия гипотезы, то Н₀ нет оснований отвергнуть.