39. Смешанное произведение векторов : Свйосвта и вычесление
Вычисление смешанного произведения в декартовых координатах.
Теорема. Если в декартовой прямоугольной системе координат
,
,
,
то
.
Доказательство. По определению смешанного произведения
.
Теорема доказана.
Следствие
1. Справедливо
равенство
.
Действительно,
в силу коммутативности скалярного
произведения. Значит, нам надо показать,
что
.
С точностью до знака обе части равенства
равны объему параллелепипеда, построенного
на векторах
.
А знак их совпадает, поскольку тройки
векторов
и
имеют одинаковую ориентацию.
Равенство
позволяет записывать смешанное
произведение просто в виде
,
не учитывая, какие именно вектора
участвуют в векторном произведении.
Следствие 2. Для компланарности трех векторов необходимо и достаточно равенство нулю их смешанного произведения.
Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
Смешанное
произведение
в
правой декартовой системе координат
(в ортонормированном базисе) равно
определителю
матрицы,
составленной из векторов
и
:
В частности,
Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
Три вектора, определяющие параллелепипед.
40. Общее уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках
Плоскость P в декартовой прямоугольной системе координат 0xyz может быть задана уравнением одного из следующих видов
Аx+By+Cz+D=0 – общее уравнение плоскости
11.1 Общее уравнение плоскости. Зафиксируем декартову прямоугольную систему координат. Рассмотрим произвольное уравнение первой степени
.
(*)
Заметим,
что хотя бы один из коэффициентов
не равен нулю (иначе это уравнение имело
бы нулевую степень). Тогда уравнение
(*) имеет хотя бы одно решение
,
т.е. существует хотя бы одна точка,
координаты которой удовлетворяют
уравнению (*):
. (**)
Вычтем из уравнения (*) уравнение (**):
. (***)
Уравнение (***) эквивалентно уравнению (*), т.е. если координаты точки удовлетворяют уравнению (*), то они удовлетворяют уравнению (***), и наоборот.
Обозначим
вектор с координатами
.
Пусть
- плоскость, проходящая через точку
и перпендикулярная вектору
.
Если точка
лежит в плоскости
,
то вектор
перпендикулярен вектору
,
скалярное произведение этих векторов
равно 0. Тогда координаты точки
удовлетворяют уравнению (***) и,
следовательно, уравнению (*). Если же
точка
не лежит в плоскости
,
то векторы
и
не перпендикулярны, и скалярное
произведение этих векторов не равно 0.
Значит, в этом случае координаты точки
не удовлетворяют уравнению (***) и уравнению
(*).
Пусть теперь дана произвольная плоскость. Выберем вектор , перпендикулярный этой плоскости, и произвольную точку , лежащую в этой плоскости. Если произвольная точка плоскости, то векторы и перпендикулярны, их скалярное произведение равно 0. Тогда координаты точки удовлетворяют уравнению (***) и, следовательно, уравнению (*), являющимся уравнением первой степени. Мы доказали
Утверждение. Произвольная плоскость в пространстве определяется уравнением первой степени. Обратно, любое уравнение первой степени определяет в пространстве плоскость.
Уравнение (*) называется общим уравнением плоскости.
11.3.
Уравнение плоскости в отрезках.
Общее уравнение плоскости (*) называется
полным, если все коэффициенты
отличны от нуля. В противном случае оно
называется неполным. Неполные уравнения
задают плоскость, проходящую через
начало координат, параллельную какой-либо
координатной оси или параллельную
какой-либо координатной плоскости. Все
эти случаи несложно рассмотреть.
Мы же рассмотрим полное уравнение плоскости. Так как все коэффициенты общего уравнения отличны от нуля, его можно переписать в виде:
,
где
.
Этот вид уравнения плоскости называется уравнением плоскости в отрезках.