61. Тригонометрическая форма комплексного числа Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа(2 страницы)

2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Форма записи комплексного числа называется алгебраической. Число называется действительной частью комплексного числа , - мнимой частью. Обозначение:

Кроме этой формы существует другая – тригонометрическая. Сначала введем некоторые понятия.

Модулем комплексного числа называется неотрицательное действительное число

Геометрический смысл модуля прост – это расстояние от начала координат до точки плоскости, соответствующей комплексному числу .

Аргументом комплексного числа называют угол между положительным направлением оси и радиус-вектором точки (отсчитываемый в положительном направлении):

Аргумент может принимать любые значения, но при заданном модуле углы, отличающиеся на Z , соответствуют одному и тому же числу .

Для числа 0 аргумент не определен.

Действительная и мнимая части комплексного числа связаны с модулем и аргументом очевидными соотношениями:

Тогда

Это и есть тригонометрическая форма записи комплексного числа .

Заметим, что операции сложения и вычитания выглядят в алгебраической форме просто и естественно, но формулы для умножения и деления кажутся весьма громоздкими. Если же мы перейдем к тригонометрической форме записи комплексного числа, то получим:

Итак, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей.

Несложно показать, что при делении модули делятся, а аргументы вычитаются: так как то поэтому и Значит, и

3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня. Из формулы для умножения комплексных чисел в тригонометрической форме сразу же следует формула для возведения комплексного числа в степень – формула Муавра:

Теперь попробуем извлечь из комплексного числа корень произвольной степени. В отличие от действительных чисел это всегда возможно. Пусть дано комплексное число . Мы должны найти такое комплексное число ,что , т.е. . Это означает, что и . Отсюда и . Если при одном и том же модуле аргументы отличаются на Z, то они определяют одно и то же комплексное число. Значит, различные корни мы получим, когда пробегает числа 0,1,… . Остальные значения новых корней не дадут.

Геометрически это выглядит так: корни -й степени из комплексного числа находятся на окружности с центром в начале координат радиуса в вершинах правильного -угольника.

4. Важное замечание. Мы расширили систему действительных чисел с целью иметь возможность решить уравнение и, как следствие, все квадратные уравнения. Как мы видим, в построенной системе комплексных чисел можно еще и извлекать корни любой степени, т.е.решать алгебраические уравнения вида . Оказывается, произвольный многочлен с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень, более того, он имеет ровно комплексных корней с учетом их кратностей. Это утверждение называется основной теоремой алгебры, но доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса.