Решение

Набор из трёх шаров может иметь два варианта:

1. белый, черный, черный

2. белый, белый, черный

Соответственно, вероятность вытянуть из этого набора белый шар для 1-ого случая равна 1/3 и для 2-ого случая – 2/3.

Обозначим через А событие –вынут белый шар.

Сделаем ряд предположений:

- набор шаров включает: белый, черный, черный

- набор шаров включает: белый, белый, черный

Соответствующие условные вероятности для каждой из гипотез:

По формуле полной вероятности найдём вероятность события A:

Ответ:

Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором - 10 белых и 10 черных шаров, в третьем - 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

Решение

Обозначим через А событие – вынут белый шар.

Сделаем ряд предположений:

- выбран наугад 1-ый ящик:

- выбран наугад 2-ой ящик:

- выбран наугад 3-ий ящик::

Вычислим условные вероятности события A при вышеперечисленных гипотезах:

- так как в 1-ом ящике все шары белые;

- так как в 2-ом ящике белые шары составляют половин от общей численности;

- так как в 3-ем ящике все шары черные.

По формуле полной вероятности найдём вероятность события A:

Вычислим вероятность того, что шар вынут из 1-ого ящика:

Ответ:

Задача №3.9

Среди шести винтовок пристреленными оказываются только две. Вероятность попадания из пристреленной винтовки равна 0,9, а из не пристреленной - 0,2. Выстрелом из одной наугад взятой винтовки цель поражена. Определить вероятность того, что взята пристреленная винтовка.

Р ешение

В ероятность того, что наугад взятая винтовка пристрелена:

Соответственно, для не пристреленной:

Обозначим через А событие – выстрелом из одной наугад взятой винтовки цель поражена. Сделаем следующие предположения:

- цель поражена пристреленной винтовкой:

- цель поражена не пристреленной винтовкой:

Событие достоверно при всех вышеперечисленных гипотезах, следовательно, соответствующие условные вероятности равны единице:

По формуле полной вероятности, вероятность того, что из наугад взятой винтовки цель поражена:

По формуле Бейеса, искомая вероятность того, что взята пристреленная винтовка, равна:

Ответ:

Задача №3.18

Прибор состоит из трех блоков. Исправность каждого блока необходима для функционирования устройства. Отказы блоков независимы. Вероятности безотказной работы блоков соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. В результате испытаний прибор вышел из строя. Определить вероятность того, что отказали два блока.

Решение

Событие А состоит в том, прибор вышел из строя. Событие С состоит в том, что отказали 2 блока. Введем события B₁ – 1-ый блок исправен, B₂ – 2-ой блок исправен, B₃ – 3-ий блок исправен.

Сделаем следующие предположения:

- отказал 1-ый блок, остальные исправны:

- отказал 2-ой блок, остальные исправны:

- отказал 3-ий блок, остальные исправны:

- отказали 1-ый и 2-ой блоки, 3-ий исправен:

- отказали 1-ый и 3-ий блоки, 2-ой исправен:

- отказали 2-ой и 3-ий блоки, 1-ый исправен:

- отказали все блоки:

- все блоки исправны:

Событие достоверно при всех вышеперечисленных гипотезах, кроме последней, так как в этом случае событие A никогда не произойдёт. Соответствующие условные вероятности равны единице:

По формуле полной вероятности, вероятность того, что прибор выйдет из строя:

Событие достоверно при гипотезах H₄, H_5, H₆,. Соответствующие условные вероятности равны единице:

По формуле полной вероятности, вероятность того, что прибор выйдет из строя:

_{Пересмотрим вероятность события C, с учётом, что событие A уже произошло:}

Ответ:

Задача №3.16

Прибор состоит из трех блоков. Исправность каждого блока необходима для функционирования устройства. Отказы блоков независимы. Вероятности безотказной работы блоков соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Определить вероятность того, что откажет один блок.