Задача №3.5

На распределительной базе находятся электрические лампочки, изготовленные на двух заводах. Среди них 60% изготовлено на первом заводе и 40% - на втором. Известно, что из каждых 100 лампочек, изготовленных на первом заводе, 90 соответствуют стандарту, а из 100 лампочек, изготовленных на втором заводе, соответствуют стандарту 80. Определить вероятность того, что взятая наугад лампочка с базы будет соответствовать стандарту.

Решение

Обозначим через А событие – взятая наугад на базе лампочка соответствует стандарту. Сделаем следующие предположения:

- взятая лампочка изготовлена на 1-ом заводе и соответствует стандарту:

- взятая лампочка изготовлена на 1-ом заводе и не соответствует стандарту:

- взятая лампочка изготовлена на 2-ом заводе и соответствует стандарту:

- взятая лампочка изготовлена на 2-ом заводе и не соответствует стандарту:

Событие достоверно при гипотезах , следовательно соответствующие условные вероятности равны единице:

По формуле полной вероятности, вероятность того, что взятая наугад на базе лампочка соответствует стандарту:

Ответ:

Задача №3.13

В первой урне пять белых и 10 черных шаров, во второй - три белых и семь черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар - белый.

Решение

Событие А – из 1-ой урны вынут белый шар. Выдвигаем гипотезы:

- из второй урны в первую переложили белый шар. Количество белых шаров в 1-ой урне стало равным 6, причём вероятность данного события равна , так как в 2-ой урне всего 10 шаров и 3 из них белые;

- из второй урны в первую переложили чёрный шар, причём вероятность данного события равна , так как в 2-ой урне всего 10 шаров и 7 из них чёрные;

П осле того, как из второй урны в первую переложили один шар, общее количество в 1-ой урне увеличилось на 1. Определим условные вероятности события А при каждой гипотезе:

Используя формулу полной вероятности, найдём вероятность события А:

Ответ:

Задача №3.22

Прибор состоит из трех блоков. Исправность каждого блока необходима для функционирования устройства. Отказы блоков независимы. Вероятности безотказной работы блоков соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. В результате испытаний два блока вышли из строя. Определить вероятность того, что отказали первый и третий блоки.

Решение

Обозначим через А событие – прибор вышел из строя в результате отказа двух блоков. Сделаем следующие предположения:

- отказали 1-ый и 2-ой блоки, 3-ий исправен. Вероятность данного события:

- отказали 1-ый и 3-ий блоки, 2-ой исправен. Вероятность данного события:

- отказали 2-ой и 3-ий блоки, 1-ый исправен. Вероятность данного события:

Так как известно, что отказали два блока, очевидно, что условные вероятности остальных гипотез равны нулю.

Событие достоверно при гипотезах , следовательно соответствующие условные вероятности равны единице:

По формуле полной вероятности, вероятность того, отказали 2 блока:

По формуле Бейеса, искомая вероятность того, что отказали 1-ый и 3-ий блоки, равна:

Ответ:

Задача №3.27

Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором - 10 белых и 10 черных шаров, в третьем - 20 черных шаров. Из каждого ящика вынули шар. Затем из этих трех шаров наугад взяли один шар. Вычислить вероятность того, что шар белый.