13. Формула Верещагина

Интеграл (3.17) можно вычислить аналитически, однако если жесткости стержней постоянны, удобнее воспользоваться другим способом, который обычно и применяют на практике.

Учитывая, что эпюра`M<sub>i</sub> от единичного силового фактора является кусочно-линейной, можно выбрать промежутки a,b, где она будет просто линейной. Тогда выбирая начало локальной системы отсчета так, как показано на рис. 3.12, б, ее уравнение можно записать в виде: `M_i(x) = tgx. При этом интеграл в (3.17) примет вид: ( M_pM_i /EJ)dx = (tg/EJ) x M_p dx. (3.19)

Рис.3.12Обозначая через  площадь эпюры M_p: = d = M_p dx ,

и учитывая, что ее статический момент относительно оси Oy равен:S_y = xd = x_c,

представим (3.19) в виде:(tg/EJ) x M_p dx = (tg/EJ) xd= (tg/EJ) x_c = (y_c)/EJ,

где y_c = tgx_c.

Возвращаясь к формуле (3.17), получим:_ip =  (_ky_ck)/(EJ_k). (3.20)

Таким образом, чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является линейной, нужно вычислить площадь криволинейной эпюры –  и умножить ее на ординату y_c в линейной эпюре, вычисленную под центром тяжести криволинейной.

Для реализации формулы (3.20) остается рассмотреть геометрические характеристики стандартных эпюр (рис. 3.13), где две последние – соответствуют эпюрам от равномерно распределенной нагрузки. Поскольку любую нестандартную эпюру можно представить комбинацией стандартных, с помощью последних можно перемножить произвольные эпюры.

Рис.3.13

17 Свойства статически неопределимых систем

Напомним, что статически неопределимыми называются системы, у которых внутренние усилия нельзя найти, используя лишь уравнения равновесия (1.10). Если при этом указанные уравнения позволяют определить опорные реакции, система называется статически неопределимой внутренним образом.

Отличительной особенностью СНС является наличие дополнительных или лишних связей – внешних или внутренних, число которых для произвольной стержневой системы можно найти по формуле:Л = С_О + 2Ш – 3Д, (1.2¢)где С_О – число опорных связей,

Ш – число простых шарниров, соединяющих диски друг с другом,

Д – число дисков.

Число лишних связей фермы, как уже отмечалось в § 1.2.2., удобнее определять по формуле:

Л = С_О + С – 2У, (1.4¢)где С_О – число опорных связей,

С – число стержней фермы,

У – число ее узлов.

Нетрудно убедиться, что для рам вместо формулы (1.2) удобнее использовать формулу:

Л = 3К – Ш , (4.1)

где Л – число лишних связей,

К – число замкнутых контуров, образованных стержнями рамы и поверхностью земли,

Ш – суммарное, в отличие от приведенных в формуле (1.2), число простых шарниров (включая опорные).

В самом деле, число лишних связей П-образной рамы, не содержащей шарниров и образующей один контур (рис. 4.1, а), можно найти по формуле (1.2):Л = 6 + 0 – 31 = 3.

Введение в контур рамы простого шарнира уменьшает на единицу число связей системы, откуда и следует (4.1).

При определении числа шарниров по формуле (4.1) кратный шарнир, соединяющий n стержней, заменяют (n – 1) простым.

Рис.4.1

Подвижную опору рекомендуется изображать на схеме так, как показано на рис. 4.1, б, то есть считать ее эквивалентной двум простым шарнирам, включенным в контур. При этом для рассматриваемой схемы получим:Л = 33 – 5 = 4.

Наличие лишних связей повышает стойкость системы к разрушению и позволяет проектировать более экономичные конструкции.

Переходя к перечислению свойств СНС можно отметить следующее:

1. Устранение ненулевых связей СНС не обязательно приводит к ее разрушению – в отличие от СОС, рассмотренных в §2.1. Например, при достаточном запасе прочности статически неопределимой фермы (рис. 4.2, а) удаление стержня нижнего пояса (рис. 4.2, б) вызовет перераспределение усилий в остальных стержнях, приведет к увеличению прогибов, но не будет иметь катастрофических последствий.

Рис.4.2

2. Опорные реакции и внутренние усилия в СНС возникают не только под действием силовых, но также вследствие кинематических и температурных воздействий.

3. В отличие от СОС опорные реакции и внутренние усилия в СНС зависят от физических свойств материала и геометрии поперечных сечений элементов системы.

Теория расчета СНС появилась в конце 19 – начале 20 столетия. Основными методами расчета таких систем являются метод сил (МС) и метод перемещений (МП).