Глава 2. 14. Расчет плоских ферм.Фермой называется строительная конструкция, образованная из прямолинейных стержней, соединенных идеальными (то есть без трения) шарнирами.
Если нагрузка, приложена только в узлах фермы, образованных этими шарнирами, все стержни будут находиться в условиях центрального растяжения или сжатия.
Напомним, что из внутренних усилий для этого вида напряженно-деформированного состояния отличной от нуля может быть только продольная сила: M = 0, Q = 0, N 0.
В рамках строительной механики расчет фермы сводится к определению усилий в ее стержнях, и в дальнейшем, при необходимости, к построению эпюры N.
Рассмотрим два простейших метода определения этих усилий.
. Метод сеченийСуть этого метода заключается в следующем: проводят сечение, разбивающее ферму на две части и рассматривают равновесие одной из частей под действием: активных сил, опорных реакций и усилий в разрезанных стержнях как произвольной плоской системы сил.
Для такой системы можно составить три уравнения равновесия, поэтому метод удобен, когда сечение пересекает не более трех стержней.
Если все рассеченные стержни при этом непараллельны, то для определения усилий целесообразно составить уравнения:SM1 = 0; SM2 = 0; SM3 = 0, взяв в качестве моментных точки, где пересекаются линии действия реакций двух разрезанных стержней из трех, а если два стержня параллельны, то уравнения:SM1 = 0; SM2 = 0; SY = 0,где ось Oy перпендикулярна этим стержням. Рассмотренный способ определения усилий можно применять и в том случае, если сечение пересекает более трех стержней, однако при этом каждое из усилий уже не удается найти независимо от остальных, поскольку приходится рассматривать равновесие обеих частей фермы, а иногда проводить дополнительные сечения.
При решении все стержни фермы рекомендуется считать растянутыми, направляя усилия от узлов.Пример 2.6. Найти усилия в указанных стержнях фермы (рис. 2.7, а).
Рис.2.7
Решение. Определяем опорные реакции:MА = 0; RB = 2P;MB = 0; RA = P;
Проверка: Y = RA + RB 3P = 0.
Для определения усилий N2-3 и N2-4 проведем сечение I-I (рис. 2.7, б) и рассмотрим равновесие части фермы, взятой слева от этого сечения. Помимо опорной реакции RA к ней будут приложены неизвестные усилия в разрезанных стержнях: N2-4, N2-3 и N1-3 (рис. 2.7, в).
Чтобы найти усилие N2-4 составим уравнение M3(лев) =0, выбрав в качестве моментной точку, где пересекаются линии действия N2-3 и N1-3: RA d N2-4 d = 0; N2-4 = RA = P.
Поскольку стержни 2-4 и 3-5 параллельны и перпендикулярны оси Оу, для нахождения N2-3 составляем уравнение:Y ( лев) = RA N2-3 = 0; N2-3 = RA = P.
Для определения усилия в стержне 3-4 проводим дополнительно сечение II-II, пересекающее этот стержень (рис. 2.7, б) и рассматриваем равновесие части фермы, расположенной слева от этого сечения (рис. 2.7, г):
Y
(
лев)
=
RA
+ N3-4sin45
= 0;
N3-4
=
RA
/ sin45
= P
.
То же самое усилие можно найти, рассматривая равновесие части фермы не слева, а справа от этого сечения: Y ( пр) = RВ 3P + N4-3sin45 = 0; N4-3 = N3-4 = P .
Метод вырезания узлов
Суть этого метода заключается в следующем: рассматривается равновесие вырезанного узла фермы под действием: активных сил, опорных реакций и усилий в разрезанных стержнях как системы сходящихся сил.
Для такой системы сил можно составить только два уравнения равновесия:SX = 0, SY = 0,
поэтому решение целесообразно начинать с рассмотрения узла, где не более двух неизвестных.
При решении, как и в предыдущем случае, рекомендуется все стержни считать растянутыми, направляя усилия от узлов.
Пример 2.7. Найти усилия в указанных стержнях фермы (рис. 2.7, а), предполагая опорные реакции известными.
Решение. Рассматривая равновесие 1 узла, к которому приложены силы RA, N1-2 и N1-3 , получим (рис. 2.7, б, д):
SY = RA + N1-2 sin45 = 0; N1-2 = P ;
SX = N1-2 cos45 + N1-3 = 0; N1-3 = P.
Следующим можно рассмотреть узел 2, загруженный неизвестными усилиями N2-4 и N2-3 и уже найденным усилием N2-1 = N1-2 (рис. 2.7, е):
SX = N2-1 cos45 + N2-4 = 0; N2-4 = P; SY = N2-1 sin45 N2-3 = 0; N2-3 = P.
Рассматривая, наконец, равновесие третьего узла, загруженного уже найденными усилиями N3-1 = N1-3 и N3-2 = N2-3, а также неизвестными N3-4 и N3-5 (рис. 2.7, е), получим:
SY = N3-2 + N3-4sin45 = 0; N3-4 = P .
Найденные значения N2-4, N2-3 и N3-4 естественно совпадают с результатами, полученным ранее в примере 2.6. Из второго уравнения находим N3-5:
SX = N3-1 + N3-4cos45+ N3-5 = 0; N3-5 = 2P.
Эту процедуру можно продолжить и, последовательно рассматривая узлы 4 и 5, определить усилия N4-5, N4-6 и N5-6.
Отметим, что уравнения равновесия для 5 узла будут содержать только одно неизвестное усилие N5-6, а в уравнения, составленные для последнего 6 узла, вообще войдут только известные величины, поэтому их можно использовать для проверки правильности решения:SX = N6-4 cos45 N6-5 = 0; SY = N6-4 sin45 + RВ = 0.
Таким образом, при определении усилий в стержнях фермы методом вырезания узлов три уравнения оказались «лишними».
Полученный результат не является случайным. Мы рассматриваем фермы, которые являются статически определимыми и геометрически неизменяемыми. Для таких ферм выполняется соотношение (1.3):W* = 2У– С – СО = 0,где У число узлов, С – число стержней фермы, а СО число опорных связей, равное трем.
Но поскольку число уравнений для определения усилий в стержнях ферм равняется удвоенному числу узлов, а число неизвестных – числу стержней, то действительно число уравнений всегда на три будет превышать число неизвестных.
1. Метод вырезания узлов в отличие от метода сечений является рекуррентным, поэтому ошибка при определении усилия в одном из стержней неизбежно скажется на правильности результата для всех остальных.2. Рассмотренный метод вырезания узлов можно и целесообразно использовать совместно с методом сечений.3. Метод можно рассматривать как в аналитической, так и в графической форме.
4. Правильность решения, как и при расчете рам, проверяют, рассматривая равновесие тех узлов или частей фермы, которые не использовались для определения усилий. 5. Во многих случаях расчет фермы удается упростить, если предварительно определить незагруженные или нулевые стержни. Для нахождения таких стержней можно воспользоваться следующими признаками нулевых стержней, справедливость которых легко доказать с помощью метода вырезания узлов:
Признак 1. Усилия в стержнях фермы, образующих незагруженный двухстержневой узел, равны нулю;
Признак 2. Если в загруженном двухстержневом узле линия действия силы совпадает с одним из стержней, усилие во втором стержне равно нулю;
Признак 3. Если в незагруженном трехстержневом узле два стержня расположены вдоль одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю.
Найденные нулевые стержни можно исключить из фермы вместе с соответствующими шарнирами, упростив тем самым расчетную схему.Пример 2.7. Найти усилия в указанных стержнях фермы (рис. 2.8, а).
Рис.2.8
Решение. Данная ферма относится к категории арочных, то есть, она образована из двух дисков АС и ВС способом трехшарнирной арки (§1.2.4). Для определения опорных реакций можно воспользоваться уравнениями:
MА=0; VA = Р/2;
MB=0; VВ = Р/2;
MC(AC)=0; HA = Р/2;
X=0; HB = – Р/2.
Однако в данном примере усилия в указанных стержнях фермы можно найти и без определения опорных реакций, если воспользоваться упомянутыми выше признаками нулевых стержней.
В самом деле, рассматривая равновесие 3 узла фермы, найдем, что N2-3 = 0 (признак 3), поэтому этот стержень можно исключить из фермы вместе с шарниром 3. Тогда N2-1 = N2-4 = 0 (признак 1) и эти стержни из фермы также можно исключить.
Аналогично, рассматривая равновесие 5 узла фермы, найдем, что N5-6 = 0 (признак 3), поэтому этот стержень также можно исключить из фермы вместе с шарниром 5. Тогда, согласно второму признаку, N6-7 = 0, то есть стержень 4-6 фактически передает нагрузку от 6 узла к узлу 4. Поэтому расчетной схемой фермы служит диада, образованная из двух стержней 1-4 и 4-7, соединенных шарниром 4, к которому приложена сила Р (рис. 2.8, б). Из условий равновесия узла 4, получим:
N4-1 = (Р )/2;
N4-7 = (Р )/2.
Итак, N4-2 = N2-4 = 0, N4-3 = N4-1 = (Р )/2.