23. Производная функции комплексного переменного, условия Коши-Римана.
Пусть однозначная функция w = f(z) определена в некоторой окрестности точки z, включая и саму точку. Тогда предел
если он существует, называется производной функции f(z) в точке z, а функция f(z) называется дифференцируемой в точке z.
Подчеркнем, что в равенстве Δz любым образом стремится к нулю, т. е. точка z + Δz может приближаться к точке z по любому из бесконечного множества различных направлений
Из дифференцируемости функции f(z) в некоторой точке z следует ее непрерывность в этой точке (отношение при Δw/Δz при Δz->0 может стремиться к конечному пределу f'(z) лишь при условии, что и Δ w —> 0). Обратное утверждение не имеет места.
При каких условиях функция w = f(z) будет дифференцируемой в данной точке?
Теорема. Если функция w = u(х;у) + iv(x;y) определена в некоторой окрестности точки z = х + iy, причем в этой точке действительные функции u(х;у) и v(x;y) дифференцируемы, то для дифференцируемости функции w = f(z) в точке z необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства
Эти равенства называются условиями Коши- Римана.
С
учетом условий Эйлера-Даламбера (74.5)
производную дифференцируемой функции
f(z) можно находить по формулам
Правила дифференцирования функций действительного переменного справедливы и для функций комплексного переменного, дифференцируемых в точке z. Это означает, что если f1(z) и f2(z) дифференцируемы в некоторой точке z комплексной плоскости, то верно следующее:
Если
дифференцируема
в точке z,
а f(w)
дифференцируема в точке
,
то 
Если в некоторой точке zфункция f(z) дифференцируема и существует функция f-1(w), дифференцируемая в точке w = f(z), причем (f-1(w))’≠0, то
, где f-1(w)–
функция, обратная f(z).
Фундаментальным понятием в теории функций комплексного переменного является понятие аналитической функции.
Однозначная функция f(z) называется аналитической (голоморфной) в точке z, если она дифференцируема (выполнены условия Эйлера-Даламбера) в некоторой окрестности этой точки. Функция f(z) называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке z £ D.
Как видно из этого определения, условие аналитичности в точке не совпадает с условием дифференцируемости функции в этой же точке (первое условие — более сильное).
Точки плоскости z, в которых однозначная функция f(z) аналитична, называются правильными точками f(z). Точки, в которых функция f(z) не является аналитической, называются особыми точками этой функции.
Пусть
функция w=f(z) аналитична в точке z. Тогда
.
Отсюда следует, что
,
где 
->
0 при
.
Тогда приращение функции можно записать
так:
Если f’(z) ≠0, то первое слагаемое f’(z)
является при 
бескнечно малой того же порядка что и
;
второе слагаемое 
есть бесконечно малая более высокого
порядка чем
.
Следовательно, первое слагаемое
составляет главную часть приращения
функции w = f(z).
Дифференциалом
dw аналитической функции w = f(z) в точке
z называется главная часть ее приращения,
т. е. dw = f'(z)dz, или dw = f'(z)dz (так как при w =
z будет dz = z' ∆z = ∆z). Отсюда следует, что
f'(z) =
т. е. производная функции равна
отношениюдифференциала функции к
дифференциалу независимого переменного.
Замечание.
Если функция f(z) = u(х;у) + iv(x;y) аналитична
в некоторой области D, то функции u(х; у)
и v(x;у) удовлетворяют дифференциальному
уравнению Лапласа 
Действительно, дифференцируя первое из равенств Коши-Римана по у, а второе по х, получаем:
откуда
Функции u(х;у) и v(x;y) являются гармоническими функциями.