21. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье.

Интеграл Фурье

Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.

Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:

1) абсолютной интегрируемости на 

(т.е. интеграл сходится)

2) на любом конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой

3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)

Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:

, где  , .

Интеграл Фурье для четной и нечетной функции

 

Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.

Учитывая, что  , а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:

 (3)

Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так:

,

где a(u) определяется равенством (3).

Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f(x) :

 (4)

и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:

,

где b(u) определяется равенством (4).

Комплексная форма интеграла Фурье

 

, (5)

где

.

Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f(x).

Если в формуле (5) заменить c(u) его выражением, то получим:

, где правая часть формулы называется двойным интегралом

Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу

в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:

 

 

 

Формулы дискретного преобразования Фурье

Обратное преобразование Фурье.

где n=1,2,..., k=1,2,...

Дискретным преобразованием Фурье - называется N-мерный вектор 

при этом, 

22. Функции комплексного переменного: определения, предел, непрерывность в точке.

Пусть даны два множества D и Е, элементами которых являются комплексные числа. Числа z = х + iy множества D будем изображать точками комплексной плоскости z, а числа w = и + iv множества Е — точками комплексной плоскости w.

Если каждому числу (точке) z ∈ D понекоторомуправилупоставленовсоответствиеопределенноечисло (точка) w ∈Е, тоговорят, чтонамножествеопределенаоднозначнаяфункциякомплексногопеременного w = f(z), отображающаямножество D вмножество Е .

Если каждому z ∈ D соответствуетнесколькозначений w, тофункция w = f(z) называетсямногозначной.

Множество D называется областью определения функции w = f(z); множество E1 всех значений w, которые f(z) принимает на Е, называется областью значений этой функции (если же каждая точка множества Е является значением функции, то Е — область значений функции; в этом случае функция f отображает D на Е).

Далее, как правило, будем рассматривать такие функции w = f(z), для которых множества D и Е1 являются областями. Областью комплексной плоскости называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности .

Функцию w = f(z) можно записать в виде

u + iv = f(x + iy),

т. е.

f(x + iy) = u(х; у) + iv(x; у),

где

u = u(х; у) = Ref(z), v = v(x; у) = Imf(z), (х; у) ∈ D.

Функцию u(х;у) при этом называют действительной частью функции f(z), a v(x;y) — мнимой.

Таким образом, задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций двух действительных переменных.

Пусть однозначная функцияw = f(z) определена в некоторой окрестности точкиz0, исключая, может быть, саму точкуz0. Подд- окрестностью точки z0 комплексной плоскости понимают внутрен­ность круга радиуса д с центром в точкеz0.

Число w0 называется пределом функции w = f(z) в точке z0 (или приz —>z0), если для любого положительного е найдется такое положительное число д, что для всехz ≠ z0, удовлетворяющих неравенству |z — z0| < д, выполняется неравенство |f(z) —w0|<е.

Записывают:

Из определения следует, что если предел w0 существует, то суще­ствуют и пределы

Верно и обратное утверждение.

Теоремы об арифметических свойствах пределов для функции од­ного (или нескольких) действительного переменного остаются справед­ливыми и для функции комплексного переменного. Так, если функции f₁(z) и f₂(z) имеют пределы в точке z0 ∈D, то

1

гдеc₁,c₂ — постоянные; и

Если

Пусть функция w = f(z) определена в точке z = z0 и в некоторой ее окрестности. Функция w = f(z) называется непрерывной в точке z0, если

Определение непрерывности можно сформулировать и так: функция f(x) непрерывна в точке z0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

Функция f(z) непрерывна в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Модуль непрерывной функции комплексного переменного обладает теми же свойствами, что и непрерывная функция действительного переменного.