14. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

Знакочередующийся ряд в общем виде ( u₁-u₂+ u₃ - …- u_n+…) (u_n >0) (1),

где u_n = 1, 2 … положительные числа.

Т1(Признак Лейбница): Если величины членов ряда (1) не возрастают, т.е. u₁ >= u₂ >= u₃ >= …, и общ. член u_n стремится к 0, то ряд сх-ся, его сумма S<= u_n , а остаток r_n удв. неравенству . Ряд (1) удв. Т1 называется рядом Лейбница

Замечание: Т. Лейбница, если она применима, позволяет установить не только сх-ть ряда, но и оценить ошибку допустимую при отбрасывании членов ряда.

Т2. Если ряд, состоящий из абсолютных величин членов данного ряда, сх-ся, то сх-ся и данный ряд.

Замечание: Т2 дает только достаточное условие сх-ти ряда с произвольными членами, следовательно ряд может быть сходящимся, в то время как ряд расходящимся.

О. Ряд, абсолютные величины которого образуют сх-ся ряд, называется абсолютно сх-ся.

О. Если ряд с произвольными величинами сх-ся, а ряд, состоящий из абсолютных величин его членов расх-ся, то дан ряд называется условно сходящимся.

12. Числовые ряды: необходимый признак сходимости. Признаки сравнения для знакопостоянных рядов.

О. Числовым рядом называется выражение вида u₁+u₂+…+u_n+…= (1)

u_n – n-й член числового ряда.

О. S_n = u₁+u₂+…+u_n – n-я частичная сумма числового ряда (1).

О. Если существует , то он называется суммой числового ряда.

О. Числовой ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел его n-й частичной суммы, числовой ряд (1) наз. рас-ся, если или не существеут.

О. Разность S-S_n наз. n-ым остатком числ. ряда (1) и обознач. r_{n .}

Необходимый признак сходимости: Если ряд сх-ся, то его общий член стремиться к 0 при неограниченном возрастании номера.

Доказательство: S_n = u₁+u₂+…+u_n = S_n-1 + u_n

Следствие ( достаточный признак расходимости): Если общ. член ряда не стремится к 0, то он не явл. сх-ся.

Признаки сравнения. Лемма 1: Если частичная сумма ряда (1) ограничена сверху, то ряд сходится.

Лемма 2: Если ряд (1) сх-ся, то его частичные суммы < суммы ряда.

Т1. Пусть даны 2 ряда u₁+u₂+…+u_n+… (3) u_n > 0, v₁+v₂+…+v_n+… (4) v_n > 0,

члены которого u_к <= v_k то тогда: из сходимости (4) следует сх-ть (3);

из расх-ти (3) следует расх-ть (4)

Т2. (обобщенный признак сравнения) Если члены рядов (3),(4) удв. условию

, то ряды (3),(4) сх-ся или расх-ся одновременно.

На практике в кач. эталона сх-ся ряда берут ряд (Ряд Дирихле), . В кач. расх-ся ряда берут тот же ряд, .

15. Функциональные ряды. Область сходимости.

О. Функциональным рядом называется ряд u₁(x) + u₂(x) +…+ u_n(x) +…= (1), где u_n(x) – функции, определенные на некотором Х.

S_n(x) = u₁(x) + u₂(x) +…+ u_n(x) – n-я частичная сумма ряда (1). r_n(x) = u_n+1(x) + u_n+2(x)+… n-й остаток.

При каждом фиксированном х₀ Х ряд (1) превращается в обычный числовой ряд.

О. Совокупность значений х Х, при которых ряд (1) сх-ся, называется областью сходимости функционального ряда.

О. Сх-ть ряда (1) в каждой точке области D называется поточечной сх-ю.

О. Сумма ряда (1) - функция S(x) = . Данная функция определена для любого х D, причем для сх-ся функционального ряда S(x) = S_n(x)+r_n(x), где

О. Ряд (1) абсолютно сходится, если сходится .

Замечание: Для определения области сходимости функционального ряда (1), можно использовать признаки Коши и Д’Аламбера, сформулированные для числовых рядов.

С помощью этих признаков можно определить область сх-ти конкретного числового ряда, а именно:

1. Если

2. , то ряд (1) сх-ся абсолютно, для х удв. L(x)<1, и расх-ся для любого х удв. L(x)>1, L(x)=1 требует отдельного рассмотрения.