8. Линейные ду высших порядков.
Опр. Ур-е α0(х)y(n)+ α1(x)y(n-1)+…+ αn-1(х)y’+ αn(х)y = ȹ(x) (1), где α0(х), α1(х),…,αn(х),ȹ(x) – заданные на [a,b] ф-ции, причем α0(х) ≡неравно 0, назыв. линейным ДУ n-ного порядка.
Отметим, что исх. ф-ция и ее производные входят в 1 степени (линейно) в ур-е.
Опр. Ур-е (1), в кот. ȹ(x) ≡ 0, назыв. однородным линейным ДУ. Если ȹ(x) ≡неравно 0, то ур-е назыв. неоднородным.
Если в ур-ии (1) ȹ(x) ≡неравно 0 и α0(x) ≡неравно 0, то его можно записать в другом виде:
Разделив обе части (1) на α0 (x) ≡неравно 0 и введя новые обозначения ai(x) = αi(x)/α0(x) [i=1,n], а также полагая f(x) = ȹ(x)/α0(x), мы получим ур-е в след.виде: y(n)+a1(x)y(n-1)+…+an-1(x)y’+an(x)y=f(x). (2) будем считать коэффициенты ai(x) и ф-циюf(x) непрерывными на [a,b]. Соответствующее однородное уравнение y(n)+a1(x)y(n-1)+…+an-1(x)y’+an(x)y=0 (3). Задача Коши для ур-я (2) формулируется след.образом: Найти решение y=y(x)ур-я (2), удовл. нач. условиям y(x0)=y0, y’(x0)=y0’,…, y(n-1)(x0)=y0(n-1), где x0, y0, y0’,…,y0(n-1)–заданные числа, x0ϵ[a,b]. (4) Справедлива след.теорема:
Пусть на [a,b] коэффициенты ai [i=1,n]и правая часть f(x)ур-я (2) непрерывны. Тогда:
Решение задачи Коши (4) для ур-я (2) сущ. на всем отрезке [a,b].
Если 2 решения y1(x), y2(x)ур-я (2) удовл. одним и тем же нач. условиям (4), то y1(x) ≡y2(x) для любого xϵ[a,b].
Следствие. Пусть y(x) – решение однор. ур-я (3), удовл. нулевым нач. условиям: y0(0)=0, y’(0)=0,…,y(n-1)(0)=0. Тогда y(x)≡0.
Опр. Ф-цииy1(x),y2(x),…,yn(x) назыв. линейно зависимыми на (a,b), если сущ. постоянные числаα1,α2,…,αn≠ одновременно 0 такие, что α1y1 +α2y2 +…+ αnyn=0 (5) для любого xϵ(a,b). Если р-во (5) имеет место при α1=α2=…=αn=0, то система ф-цийy1,y2,…,ynназыв. линейно независимой.
Замечание: из лин. зависимости ф-ции следует, что одна из них, напр. Yn, явл. Линейной комбинацией остальных, т.е. сущ. β1,β2,…,βn-1такие, что выполняется: yn= β1y1 + β2y2 +… +βn-1yn-1.
Опр.
Определитель
W[y1,y2,…,yn]=
,
назыв. определителем Вронского или
вронскианом.
Если функции y1(x),y2(x),…,yn(x) и их первые (n-1) производные вычислены в т. x0ϵ(a,b), то значение вронскиана в этой точке W(x0).
Сформулируем критерий лин. зависимости ф-ции на (a,b):
Теорема. Если y1(x),y2(x),…,yn(x)лин. зависимы на интервале (a,b), то опр-тель Вронского W(x)≡0 для любого xϵ(a,b).
□ Поскольку
ф-цииy1,y2,…,ynлин.
зависимы на (a,b),
то в силу сформулир. замечания yn=
β1y1
+ β2y2
+…
+βn-1yn-1
=> определитель Вронского: W(x)
= 
=0,
т.к. последний столбец – лин. комбинация
остальных.
Следствие. Если хотя бы в 1 т. x0ϵ(a,b) опр-тель Вронского W(x) системы функций y1(x),y2(x),…,yn(x)отличен от 0, то эти функции лин. независимы на (a,b).
9. Теоремы о структуре общего решения линейного однородного ду и линейного неоднородного ду. Фундаментальная система решений.
Теорема о структуре общего решения ЛОДУ: Всякое ЛОДУ порядка n имеет ровно n линейно независимых решений y1,y2,…,yn от х, xϵ(a,b). Общее решение данногоур-я: y = C1y1+C2y2+…+Cnyn (6). Cn–произвольные постоянные.
□ Пусть любое решение yi(x), i=1,…nудовл. след.условиям:
1) y1(x0)=1, y’1(x0)=0,y1(n-1)(x0)=0
2) y2(x0)=0, y’2(x0)=1, y2(n-1)(x0)=0
Определим, что система yi(x)лин. независима: составим определитель Вронского ф-цииyi(x) в т. x0:
W(x)
= 
=1≠0.
На основании теоремы заключаем, что
yi(x)лин.
независима.
Для ЛОДУ порядка n найдено n линейно независ. решений.
Покажем, что >nлин. независ. решенийур-е (3) иметь не может, т.е. любое решение ȳ(x0)=y0, ȳ’(x0) = ȳ’0,…, ȳ(n-1)(x0) = y0(n-1) (7), где y0, y0’,…,y0(n-1)–произв. числа, x0ϵ(a,b).
Покажем, что данное решение ȳ можно получить из решения (6), т.е. подобрать C1, C2,…,Cn единств.образом так, что ф-ция у будет удовл. нач. условиям (7), а это означает, что ȳ=у для любого xϵ(a,b).
Пусть ф-ция у вида (6), удовл. условиям (7), имеет след.систему:
C1y1(x0) +C2y2(x0) +…+Cnyn(x0)=у0
C1y’1(x0) +C2y’2(x0) +…+Cny’n(x0)=у’0
… … …
C1y1(n-1)(x0) +C2y2(n-1)(x0) +…+Cnyn(n-1)(x0)=y0(n-1)
Определитель данной системы W(x0)=1≠0, т.е. система имеет единств.решение, при кот. ȳ=у. Теорема доказана.
Опр. Всякая система nлин. независ. решений y1,y2,…,ynЛОДУ (3) порядка n называется фундаментальной системой решений.
Теорема о структуре общего решения ЛНДУ:
Общее решение ЛНДУ предст. собой сумму некоторого его частного решения уч.н. и общего решения соотв. ему однородного уравнения L[y]=0.
11. Метод Лагранжа решения ЛНДУ высших порядков.
(1)
Из Т. о структуре общего решения ЛНДУ следует, что общее решение имеет вид
у = уобщ.однор.+участн.неоднор.
уо.о.=с1у1+с2у2+…+сnyn
, где y1,
y2,
… yn
;
ФСР однородного уравнения
(2).
В общем случае данная задача решается методом Лагранжа.
Метод
Лагранжа используется в том случае,
если f(x)
имеет вид
,
где Pm(x),
Qn(x)
– многочлены с постоянными коэффициентами
(1).
Частные случаи:
1)
А) число α не является корнем характеристического уравнения (2), тогда
Уч.н.=
Б) α является корнем хар. уравнения (2) кратности k, тогда
Уч.н.=
2) f(x) имеет вид
А)
не явл. корнем хар. уравнения (2), тогда
Уч.н.=
,
где Ps(x),Qs(x)
– многочлены степени s
= максимальное из чисел m
и n
с неопределенными коэффициентами.
Б) явл. корнем хар. уравнения (2), тогда
Уч.н.=
,
где Ps(x),Qs(x)
– многочлены степени s
= максимальное из чисел m
и n
с неопределенными коэффициентами.